# Dos números especiales

Se ha dado en llamar pi al número que se obtiene tras dividir la longitud de cualquier circunferencia, por pequeña o grande que sea, entre su diámetro. El resultado es siempre el mismo y empieza por 3.141592653589… y los decimales continúan y continúan hacia el infinito. Su nombre y notación (π) provienen de la inicial en griego de las palabras periferia y perímetro.

En la antigüedad ya se utilizaban aproximaciones al valor de pi. Al griego Arquímedes se le ocurrió aproximarlo por exceso y por defecto mediante polígonos regulares inscritos y circunscritos a la circunferencia, llegando a la conclusión de que pi está comprendido entre 3﻿+﻿10﻿/﻿71 y 3﻿+﻿1﻿/﻿7 (=22/7). Claudio Ptolomeo discurrió que el valor de pi era lo más parecido a 3.14166666666… que es el resultado de 377﻿/﻿120. Los romanos no se complicaban demasiado con estas cosas y hay quien dice que tenían suficiente con el tres. Seguramente se darían por satisfechos con que no se les cayeran los puentes en dos mil años por lo menos. En China utilizaban la raíz cuadrada de diez entre otros valores. En los últimos siglos del primer milenio de nuestra era, en la India y en el mundo árabe ya manejaban aproximaciones bastante buenas. Especialmente interesante me resulta la apreciación atribuida a Al-﻿Jwarizmi (entre los siglos VIII y IX) sobre que “el hombre práctico usa 22﻿/﻿7 como valor de pi, el geómetra usa 3 y el astrónomo 3.1416”. En el segundo milenio ya aparecen las competiciones de a ver quien calcula más decimales, y actualmente se han desarrollado algunos algoritmos destinados a que una máquina obtenga billones de decimales de pi. También hay un récord de memorización de decimales de pi y existen varias fechas conmemorativas. El veintidós de julio (22﻿/﻿7) es el día de la aproximación de pi y en Estados Unidos han declarado el catorce de marzo (mes 3 día 14 en su formato de fechas) como el Día de Pi.

El otro número famoso relacionado con la pirámide de Keops es el llamado “número de oro” entre otros nombres, habitualmente denotado con la letra griega phi (φ) en honor al escultor de la antigua Grecia Fidias. Se puede representar como una proporción entre dos partes de un mismo segmento de recta, como en la Figura 2, “Proporción áurea”. Aparece no solo en las matemáticas y la geometría, sino también en la naturaleza y, por supuesto y sobre todo, en el arte: arquitectura, pintura, escultura, música e incluso en la literatura, ya que se suele tener en cuenta a la hora de componer la caja tipográfica de un texto. La usan incluso las tarjetas bancarias. Es como si esta “divina proporción” quisiera decir: “si me buscáis, me vais a encontrar”.

Figura 2. Proporción áurea

Tomando como ejemplo la figura anterior, si dividimos la longitud de a entre la longitud de b, obtendremos el mismo resultado que dividiendo la suma (a+b) entre la parte mayor (a), y ese resultado es el valor de la proporción áurea. Veamos como se puede calcular.

Según lo dicho en el párrafo anterior, y sacando al signo “+” del numerador en la expresión a la derecha del signo igual:

Como a dividido entre b es igual a phi, y percatándonos de que b dividido entre a es su inverso, hacemos:

En este punto sugiero prestar atención a la aparición de la siguiente propiedad: el número áureo menos uno es igual a su inverso.

Y continuamos hasta llegar a una típica ecuación de segundo grado (fijémonos en que φ2=1+φ):

la cual podemos resolver utilizando la consabida fórmula:

sustituyendo y operando

hemos llegado a las dos soluciones. Esta primera solución positiva es la que se toma como valor del número áureo:

La segunda solución es un número negativo que no se suele mencionar, pero del que puede decirse que es el inverso del número de oro multiplicado por –1:

Y es que este número no desperdicia nada: todo en él está cabalmente proporcionado.

En muchos textos se afirma que el número pi aparece al dividir el perímetro de la base de la pirámide de Keops entre el doble de su altura, y que dividiendo el área total entre el área de sus caras, o la apotema entre la semibase, o el área de sus caras entre el área de la base, aparece phi. En nuestra juguetona opinión, está claro que esas apariciones de pi y phi son consecuencia lógica de una pirámide cuadrangular que cumple la condición de que el perímetro de la base sea igual a la circunferencia cuyo radio es la altura. Hablando de condiciones a cumplir por El Horizonte de Jufu, recuerdo haber leído en alguna parte que, según Herodoto, el área de cada cara debe ser igual al cuadrado de la altura, así que, una vez metidos en harina, vamos a comprobarlo. La apotema, que se puede calcular mediante el teorema de pitágoras a partir de la altura de la pirámide y la mitad del lado de la base, es a su vez la altura de los triángulos que forman las caras, por lo que la superficie (s) de cada cara será:

Comprobando las diferencias:

No se puede decir que el resultado sea exacto, pero es bastante aproximado, ya que el margen de error no llega al 0.08% (<0.8‰).

Quienes construyeron Keops únicamente tenían que ser capaces de calcular de alguna manera la longitud de la circunferencia en función del radio, el cual sería la altura. No sabemos el valor que le darían a pi, pero en un monumento con las dimensiones de esa pirámide los errores no demasiado grandes pasan bastante desapercibidos, y mucho más al efectuar mediciones unos cuarenta y cinco siglos después, ya que no es fácil, por no decir imposible, determinar con exactitud la ubicación de las esquinas de la base y el ángulo de elevación. Las mediciones efectuadas por Flinders Petrie continúan siendo válidas como referencia, y es a partir de ellas que jugamos a que el perímetro de la base es igual a la circunferencia cuyo radio es la altura. A estas alturas del siglo XXI se han podido determinar con mucha mayor exactitud dichas medidas, pero no difieren demasiado de las de Petrie, por lo que las sigo considerando aceptables para jugar a descubrir la planificación original de la construcción.

La cuestión de cómo hicieron en aquella época para elevar por encima de los cien metros pedruscos con un peso de varias toneladas no parece fácil de resolver. Pero está claro que de alguna manera tuvieron que lograrlo, aunque en la actualidad no tengamos la seguridad de conocer las técnicas que realmente emplearon. La hipótesis del arquitecto francés Jean-﻿Pierre Houdin parece bastante interesante: para subir los bloques de piedra se utilizaría una rampa interna en espiral, y esa especie de hueco que hay en una arista de Keops, a bastante altura, sería un lugar destinado para poder girar los bloques. Esta hipótesis también propone que la llamada Gran Galería formaría parte de las rampas por las que se izaron las piedras. Eso es referente a Keops, pero ¿qué pasa con las otras dos? Kefrén y Micerino, pese a tener también una gran galeria, parece que carecen de ese hueco en el exterior. No acaban de convencerme del todo las especulaciones sobre cómo fue construida la mayor de las pirámides de Egipto que no tengan en cuenta a las otras dos, de las que no puede decirse que pasen visualmente desapercibidas, ni que sus piedras sean más pequeñas que las de su hermana más alta. Lo de que las pirámides fueron costruidas “de dentro hacia fuera” me parece, sin ir más lejos, una verdad de perogrullo.

Acerca de los agujeros en la diorita, tal vez no sería mala idea tener en cuenta la posibilidad de que hayamos tomado como marcas de taladros modernos esas señales porque son a lo que más se parecen, dentro de las tecnologías que conocemos en la actualidad. Nadie que aún viva ha visto como se hicieron, y por eso mismo no podemos negar sin lugar a dudas que en aquella época se perforasen orificios en las piedras mediante técnicas que dejaron esas marcas, las cuales hoy en día nos parecen de taladros industriales. Las suposiciones de que la piedra arenisca era tallada y desbastada martillándola con otras piedras más duras, y que el sarcófago del interior de la cámara del Rey fue cortado “aserrando” con herramientas de cobre utilizando arena, parecen bastante verosímiles. El corte lo llevaría a cabo la arena, para lo cual ni siquiera era necesario que la “sierra” tuviese dientes, bastaría con la abrasión producida por las partículas extremadamente duras que la arena contiene.

En este juego sobre la planificación de la pirámide de Keops, un servidor siempre ha tomado 22﻿/﻿7 como valor de pi porque al utilizarlo en los cálculos se obienen muchos números enteros, de ahí la especial atención a la frase atribuida a Al﻿-﻿Jwarizmi sobre que la gente práctica usa dicha fracción como valor de pi. Que Keops se construyera utilizando una u otra aproximación a pi me es, hasta cierto punto, indiferente. Atribuyo mayor importancia a las intenciones que al resultado de las mismas sobre el terreno. El juego consiste en descubrir el planteamiento teórico para construir la pirámide, otra cosa es que la teoría fuese llevada a cabo con mayor o menor grado de fidelidad. Sin embargo, diríamos que los supuestos con los que jugamos consiguen un grado de fidelidad bastante alto, al compararlos con las dimensiones mayoritariamente aceptadas de la pirámide.

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