Planificando Keops

Jugando al proyecto de la pirámide

Fernando García Orozco

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Tabla de contenidos

Introducción
El codo real
Dos números especiales
La altura
El lugar
La cuadratura del círculo
El pentágono regular
Las ocho caras
Las coincidencias
El tetragrama
El tesoro
Kefrén, Micerino y la esfinge
A modo de conclusión
Bibliografía y fuentes consultadas
Apéndice


Introducción

Sé que la curiosidad, esa arma de doble filo, no dejará de inducirme a buscar
respuestas mientras dure el tiempo que me haya sido prestado.

Érase una vez un joven curioso que dibujaba polígonos regulares inscritos en
circunferencias. No tuvo demasiados problemas con el triángulo, el cuadrado, el
pentágono —aún lo recordaba del colegio— y el hexágono, pero el heptágono
parecía imposible; “siete es difícil”, de modo que fue resuelto con ayuda de
una regla transportadora. Geométricamente hablando no sería muy ortodoxo, pero
el objetivo tenía prioridad sobre los medios. Midió más o menos 51.5 grados,
tomó la distancia con el compás y, tras algunas pequeñas correcciones, logró
dividir la circunferencia en siete partes aceptablemente iguales. Hay que decir
que el radio era de doce centímetros, teniendo la cartulina más de cuarenta por
un lado y superando los cincuenta por el otro: un pedazo de dibujo en toda
regla. Trazó las dos estrellas de siete puntas y midió distancias, por
curiosidad. Una de esas distancias resultó ser de 147 mm aproximadamente.

—¿Ciento cuarenta y siete? ¡Pero si eso viene a ser la altura atribuida a Keops
en metros!

Sería absurdo pretender aportar algo nuevo a todo lo que se ha dicho y escrito
sobre la Gran Pirámide de Giza. Esto es únicamente para recopilar y ordenar mis
ideas al respecto, que no considero especiales ni originales sino, a lo sumo,
entretenidas.

El codo real

Según fuentes dignas de crédito, hace cuarenta y cinco siglos (año más, año
menos) existía en Egipto una medida equivalente a la longitud del arco de
treinta grados de una circunferencia de un metro de radio. A esa medida hoy la
llamamos “codo real”, y en este juego se asume que fue la unidad de medida
utilizada en la construcción de las pirámides de Giza.

Figura 1. Una relación entre el metro y el codo real

Longitud del arco de treinta grados en una circunferencia de un metro de radio


De la figura anterior se deduce que, en cualquier circunferencia, la longitud
del arco de treinta grados medida en codos reales es la misma cifra que la
longitud del radio medida en metros. El arco de 30° también se expresa como pi/
6 radianes, cuyo cociente redondeado a cuatro cifras decimales es 0.5236. Esto
es una coincidencia asombrosa, porque la medida del codo real no es 0.5236 de
cualquier cosa, sino precisamente metros. Si tenemos en cuenta que la pirámide
está situada casi exactamente a 30 grados de latitud norte, su distancia al
Ecuador expresada en codos reales es la misma cifra que el radio terrestre
expresado en metros: 6 366 198. Se asume una Tierra idealmente esférica con una
circunferencia de cuarenta millones de metros (cuarenta mil kilómetros), que es
la que se tomó como modelo para determinar la longitud del metro. Si eres casi
tan mayor como yo, posiblemente recuerdes la antigua definición de metro: “La
diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre”.

El codo real se podría definir, por ejemplo, como “la doceava parte de la
circunferencia cuyo radio mide un metro”. Obtendremos el mismo resultado
dividiendo la circunferencia en doce partes iguales y expresando el radio en
metros: la constante 0.5235987756… que redondearemos a 0.5236.

Siendo L la longitud de la circunferencia y r el radio:

L=2⁢π⁢r

r=L/2⁢π⁢

⁢(L/12)/r=(L/12)/(L/2⁢π)=2⁢πL/12⁢L=2⁢π/12=π/6=0.5236

No puede calificarse sino como extraordinaria la casualidad de que ese
resultado coincida con la longitud del codo real medido en metros, por lo que
también podríamos jugar a definir el metro como “el radio de una circunferencia
de longitud igual a doce codos reales”.

Una unidad de medida es simplemente un patrón, algo que hemos elegido para
poder comparar las dimensiones de las cosas. En una antigüedad no muy lejana
existían casi tantas unidades de medida como poblaciones: que si la vara
castellana, la de Teruel o la de Alicante; que si la toesa francesa, el pie, la
pulgada o la yarda; que si la legua, la milla terrestre o la milla marítima,
etc. Un mismo nombre de unidad podía tener distintas medidas en diferentes
lugares, posibilitando trampas en los negocios además de contribuir a lo que
podríamos llamar “caos dimensional”. Pero a los franceses, mientras ejecutaban
(o se ejecutaban en) su Revolución, se les ocurrió diseñar un patrón de medidas
que fuese aceptable por todo el mundo, para lo cual les pareció buena idea
basarlo precisamente en nuestro mundo, esto es, en el planeta que llamamos
Tierra. Midieron en sus toesas el arco meridiano desde Dunkerque a Barcelona
pasando por París, como no podía ser menos, y decidieron que la longitud del
nuevo patrón sería tal que la circunferencia de la Tierra contuviese cuarenta
millones de unidades. Hicieron los cálculos y lo llamaron “metro” (medida),
teniendo lugar su nacimiento allá por el año 1791. Anteayer como quien dice,
comparado con los más de cuatro milenios —a saber cuánto más— que lleva
existiendo el codo real. Se le atribuye al matemático, economista, historiador,
revolucionario y seguro que algunas cosas más, Marie Jean Antoine Nicolás de
Caritat, marqués de Condorcet, la frase: “Para todas las personas de todos los
tiempos” (incluyendo el pasado, por lo visto), aunque la implantación universal
de nuestro metro no comenzaría hasta el año 1875. Mi asombro ante esta
coincidencia queda patente, ya que el codo real parece estar relacionado con el
metro más de cuarenta siglos (año más, año menos) antes de que este último
existiera.

Siendo fieles a la idea que lo parió, un metro es la cuarenta millonésima parte
de una circunferencia terrestre ideal. Y un codo real es pi/6 metros, aunque
hay más de una manera de relacionar las dos unidades. Tratándose de la
circunferencia de un metro de radio, el codo real mide lo que el arco de
treinta grados, pero si el radio de la circunferencia fuese medio metro (un
metro de diámetro), el codo real sería la longitud del arco de sesenta grados;
si dicho radio fuese de dos metros, sería el arco de quince grados (y así
podríamos seguir “hasta el infinito y más allá”) de modo que, pudiendo escoger,
elijo el radio de un metro, aunque solo sea por el hecho de que esta elección
permite un arco de treinta grados con tantos codos reales como metros tenga el
radio, y porque Keops está situada treinta grados al norte del Ecuador, aunque
también esté sesenta grados al sur del Polo Norte.

El codo real, al ser pi/6 metros, podría dar pie a pensar en la posibilidad de
que su relación con el metro sea intencionada, lo que implicaría que en la
época de la construcción de las pirámides de Egipto se conocía una medida igual
al metro. Pero también podría ser pura casualidad porque, desde luego, el azar
existe. Podemos imaginar que en el futuro lograremos viajar en el tiempo hasta
un pasado remoto, llevando con nosotros nuestra super avanzada tecnología —y un
metro— para construir las pirámides de Giza. Esto no parece muy verosímil,
porque habríamos utilizado el metro directamente y no pi/6 metros. Además, en
la actualidad nos encontraríamos en medio de una paradoja temporal, esperando a
viajar al pasado —sin olvidar llevarnos un metro— para construir la pirámide,
pero sin haberla construido todavía porque aún no hemos viajado al pasado y,
sin embargo, Keops existe. Podríamos estar viviendo en un presente mutante con
multitud de realidades simultáneas. También está la hipótesis de supuestos
expedicionarios extraterrestres, pero eso volvería a llevarnos a la casualidad,
dado que habrían construido Keops cuando aún no existía el metro. Y si volvemos
al viaje en el tiempo, los alienígenas esos habrían tenido que venir a la
Tierra (sin excluir cualquier número de visitas en cualquier otra época)
después del año 1875, viajar al pasado llevándose un metro, y diseñar un patrón
de 0.5236 m que será el que usarán para construir la pirámide de Keops. Pero
Keops ya existía antes del año 1875, por lo que volveríamos al presente mutante
de realidades simultáneas. Se me ocurre una tercera posibilidad, y es que una
misteriosa influencia cósmica hubiese actuado sobre las mentes responsables de
escoger las longitudes del codo real y del metro, en sus respectivas épocas,
para lograr que ambas quedasen vinculadas entre sí y además con la Tierra. A
esta misteriosa influencia cósmica podríamos llamarla “magia”, por ejemplo.
Pero la magia no existe. Por último, imaginaremos una especie de telepatía del
futuro. Supongamos que, cuando se construyó Keops, ciertos individuos podían
proyectar su mente hacia el futuro y extraer información del mismo, siendo así
que “vieron” nuestro metro y les pareció buena idea relacionar la unidad de
medida de la pirámide con el mismo. Claro que esta última posibilidad también
pertenecería más al campo de la magia que al de la realidad. Ante semejantes
opciones, la más verosímil sería la casualidad, por muy rara que parezca,
puesto que a veces la realidad puede ser realmente extraña y sorprendente.

Naturalmente, las hipótesis anteriores no son más que pura ficción. Pero la
realidad es tozuda, y la longitud del codo real coincide con pi/6 metros. Será
mucha casualidad, pero cosas más raras se han visto. Puedes buscar en Internet 
“casualidades extraordinarias” si quieres asombrarte con unas cuantas. Tal vez
una unidad de medida consistente en el radio de la circunferencia de doce codos
reales fuese utilizada en la antigüedad egipcia. Lo llamativo —insisto— es que
a esa unidad la conocemos como “metro” desde hace menos de tres siglos.

Pero, teniendo en cuenta que el codo real nació antes que el metro, quizás la
pregunta correcta no sea si quienes construyeron Keops conocían el metro, sino
si quienes diseñaron el metro conocían el codo real y llamaron “metro” al radio
de la circunferencia de doce codos reales, vendiéndolo como “la diezmillonésima
parte del cuadrante del meridiano terrestre”. No deja de resultar curioso que
el radio de la circunferencia de doce codos reales sea (casi) la cuarenta
millonésima parte de la circunferencia del meridiano terrestre. Tal vez resulte
que, dada la enorme longitud de la circunferencia de la Tierra, encajar en la
misma una unidad de medida puede que no sea tan difícil como pueda parecer. El
radio de la circunferencia de doce codos reales parece encajar en un meridiano
de cuarenta millones de esas unidades, pero también pudiera haber sido que un
codo real con otra longitud encajase en treinta y seis o en cuarenta y ocho.
Tal vez se buscó hasta hallar. O tal vez no, ¿quién lo puede saber? Por
conjeturar que no quede.

Aunque hay algo en la relación entre codo real y metro que siempre acaba por
dejarme pensativo, y es el número cuatro. Cuarenta millones de metros es 4 × 10
^7 m, y soy de la opinión de que el número cuatro tiene significado propio en
un determinado contexto, digamos simbólico, que le atribuyo a las proporciones
y formas geométricas presentes en la pirámide. Esto de los símbolos puede que
únicamente sea cosa mía y es cierto que me divierte, pero también pudiera ser
que no sepamos tanto como creemos saber sobre el funcionamiento de nuestra
mente que, como probablemente diría el controvertido biólogo Rupert Sheldrake,
es mayor que la suma de las partes de nuestro cerebro, o incluso mayor que la
suma de las partes de nuestro organismo al completo.

Dos números especiales

Se ha dado en llamar pi al número que se obtiene tras dividir la longitud de
cualquier circunferencia, por pequeña o grande que sea, entre su diámetro. El
resultado es siempre el mismo y empieza por 3.141592653589… y los decimales
continúan y continúan hacia el infinito. Su nombre y notación (π) provienen de
la inicial en griego de las palabras periferia y perímetro.

En la antigüedad ya se utilizaban aproximaciones al valor de pi. Al griego
Arquímedes se le ocurrió aproximarlo por exceso y por defecto mediante
polígonos regulares inscritos y circunscritos a la circunferencia, llegando a
la conclusión de que pi está comprendido entre 3+10/71 y 3+1/7 (=22/7). Claudio
Ptolomeo discurrió que el valor de pi era lo más parecido a 3.14166666666… que
es el resultado de 377/120. Los romanos no se complicaban demasiado con estas
cosas y hay quien dice que tenían suficiente con el tres. Seguramente se darían
por satisfechos con que no se les cayeran los puentes en dos mil años por lo
menos. En China utilizaban la raíz cuadrada de diez entre otros valores. En los
últimos siglos del primer milenio de nuestra era, en la India y en el mundo
árabe ya manejaban aproximaciones bastante buenas. Especialmente interesante me
resulta la apreciación atribuida a Al-Jwarizmi (entre los siglos VIII y IX)
sobre que “el hombre práctico usa 22/7 como valor de pi, el geómetra usa 3 y el
astrónomo 3.1416”. En el segundo milenio ya aparecen las competiciones de a ver
quien calcula más decimales, y actualmente se han desarrollado algunos
algoritmos destinados a que una máquina obtenga billones de decimales de pi.
También hay un récord de memorización de decimales de pi y existen varias
fechas conmemorativas. El veintidós de julio (22/7) es el día de la
aproximación de pi y en Estados Unidos han declarado el catorce de marzo (mes 3
día 14 en su formato de fechas) como el Día de Pi.

El otro número famoso relacionado con la pirámide de Keops es el llamado “
número de oro” entre otros nombres, habitualmente denotado con la letra griega 
phi (φ) en honor al escultor de la antigua Grecia Fidias. Se puede representar
como una proporción entre dos partes de un mismo segmento de recta, como en la
Figura 2, “Proporción áurea”. Aparece no solo en las matemáticas y la
geometría, sino también en la naturaleza y, por supuesto y sobre todo, en el
arte: arquitectura, pintura, escultura, música e incluso en la literatura, ya
que se suele tener en cuenta a la hora de componer la caja tipográfica de un
texto. La usan incluso las tarjetas bancarias. Es como si esta “divina
proporción” quisiera decir: “si me buscáis, me vais a encontrar”.

Figura 2. Proporción áurea

            Un segmento de recta dividido según la proporción áurea


Tomando como ejemplo la figura anterior, si dividimos la longitud de a entre la
longitud de b, obtendremos el mismo resultado que dividiendo la suma (a+b)
entre la parte mayor (a), y ese resultado es el valor de la proporción áurea.
Veamos como se puede calcular.

Según lo dicho en el párrafo anterior, y sacando al signo “+” del numerador en
la expresión a la derecha del signo igual:

a/b=(a+b)/a=1+(b/a)

Como a dividido entre b es igual a phi, y percatándonos de que b dividido entre
a es su inverso, hacemos:

φ=1+(1/φ)

φ−1=1/φ

En este punto sugiero prestar atención a la aparición de la siguiente
propiedad: el número áureo menos uno es igual a su inverso.

Y continuamos hasta llegar a una típica ecuación de segundo grado (fijémonos en
que φ^2=1+φ):

φ(φ−1)=1

φ²−φ=1

φ²−φ−1=0

la cual podemos resolver utilizando la consabida fórmula:

x=(−b±√(b²−4⁢a⁢c))/2⁢a

sustituyendo y operando

φ=(−(−1)±√((−1)²−4⁢(1)⁢(-1)))/2⁢(1)=(1±√(5))/2

hemos llegado a las dos soluciones. Esta primera solución positiva es la que se
toma como valor del número áureo:

φ=(1+√(5))/2=1.618033988749…

La segunda solución es un número negativo que no se suele mencionar, pero del
que puede decirse que es el inverso del número de oro multiplicado por –1:

−1/φ=(1−√(5))/2=-0.618033988749…

Y es que este número no desperdicia nada: todo en él está cabalmente
proporcionado.

En muchos textos se afirma que el número pi aparece al dividir el perímetro de
la base de la pirámide de Keops entre el doble de su altura, y que dividiendo
el área total entre el área de sus caras, o la apotema entre la semibase, o el
área de sus caras entre el área de la base, aparece phi. En nuestra juguetona
opinión, está claro que esas apariciones de pi y phi son consecuencia lógica de
una pirámide cuadrangular que cumple la condición de que el perímetro de la
base sea igual a la circunferencia cuyo radio es la altura. Hablando de
condiciones a cumplir por El Horizonte de Jufu, recuerdo haber leído en alguna
parte que, según Herodoto, el área de cada cara debe ser igual al cuadrado de
la altura, así que, una vez metidos en harina, vamos a comprobarlo. La apotema,
que se puede calcular mediante el teorema de pitágoras a partir de la altura de
la pirámide y la mitad del lado de la base, es a su vez la altura de los
triángulos que forman las caras, por lo que la superficie (s) de cada cara
será:

s=(b×h/2)=(440cr⁢√((280cr)²+(440cr/2)²))/2

Comprobando las diferencias:

(280cr)²=78 400cr²

√(78 339.7728cr²)≈279.8924cr

78 400cr²−78 339.7728cr²=60.2272cr²=16.5117m²

60.2272*100/78 400=0.0768%

No se puede decir que el resultado sea exacto, pero es bastante aproximado, ya
que el margen de error no llega al 0.08% (<0.8‰).

Quienes construyeron Keops únicamente tenían que ser capaces de calcular de
alguna manera la longitud de la circunferencia en función del radio, el cual
sería la altura. No sabemos el valor que le darían a pi, pero en un monumento
con las dimensiones de esa pirámide los errores no demasiado grandes pasan
bastante desapercibidos, y mucho más al efectuar mediciones unos cuarenta y
cinco siglos después, ya que no es fácil, por no decir imposible, determinar
con exactitud la ubicación de las esquinas de la base y el ángulo de elevación.
Las mediciones efectuadas por Flinders Petrie continúan siendo válidas como
referencia, y es a partir de ellas que jugamos a que el perímetro de la base es
igual a la circunferencia cuyo radio es la altura. A estas alturas del siglo
XXI se han podido determinar con mucha mayor exactitud dichas medidas, pero no
difieren demasiado de las de Petrie, por lo que las sigo considerando
aceptables para jugar a descubrir la planificación original de la construcción.

La cuestión de cómo hicieron en aquella época para elevar por encima de los
cien metros pedruscos con un peso de varias toneladas no parece fácil de
resolver. Pero está claro que de alguna manera tuvieron que lograrlo, aunque en
la actualidad no tengamos la seguridad de conocer las técnicas que realmente
emplearon. La hipótesis del arquitecto francés Jean-Pierre Houdin parece
bastante interesante: para subir los bloques de piedra se utilizaría una rampa
interna en espiral, y esa especie de hueco que hay en una arista de Keops, a
bastante altura, sería un lugar destinado para poder girar los bloques. Esta
hipótesis también propone que la llamada Gran Galería formaría parte de las
rampas por las que se izaron las piedras. Eso es referente a Keops, pero ¿qué
pasa con las otras dos? Kefrén y Micerino, pese a tener también una gran
galeria, parece que carecen de ese hueco en el exterior. No acaban de
convencerme del todo las especulaciones sobre cómo fue construida la mayor de
las pirámides de Egipto que no tengan en cuenta a las otras dos, de las que no
puede decirse que pasen visualmente desapercibidas, ni que sus piedras sean más
pequeñas que las de su hermana más alta. Lo de que las pirámides fueron
costruidas “de dentro hacia fuera” me parece, sin ir más lejos, una verdad de
perogrullo.

Acerca de los agujeros en la diorita, tal vez no sería mala idea tener en
cuenta la posibilidad de que hayamos tomado como marcas de taladros modernos
esas señales porque son a lo que más se parecen, dentro de las tecnologías que
conocemos en la actualidad. Nadie que aún viva ha visto como se hicieron, y por
eso mismo no podemos negar sin lugar a dudas que en aquella época se perforasen
orificios en las piedras mediante técnicas que dejaron esas marcas, las cuales
hoy en día nos parecen de taladros industriales. Las suposiciones de que la
piedra arenisca era tallada y desbastada martillándola con otras piedras más
duras, y que el sarcófago del interior de la cámara del Rey fue cortado “
aserrando” con herramientas de cobre utilizando arena, parecen bastante
verosímiles. El corte lo llevaría a cabo la arena, para lo cual ni siquiera era
necesario que la “sierra” tuviese dientes, bastaría con la abrasión producida
por las partículas extremadamente duras que la arena contiene.

En este juego sobre la planificación de la pirámide de Keops, un servidor
siempre ha tomado 22/7 como valor de pi porque al utilizarlo en los cálculos se
obienen muchos números enteros, de ahí la especial atención a la frase
atribuida a Al-Jwarizmi sobre que la gente práctica usa dicha fracción como
valor de pi. Que Keops se construyera utilizando una u otra aproximación a pi
me es, hasta cierto punto, indiferente. Atribuyo mayor importancia a las
intenciones que al resultado de las mismas sobre el terreno. El juego consiste
en descubrir el planteamiento teórico para construir la pirámide, otra cosa es
que la teoría fuese llevada a cabo con mayor o menor grado de fidelidad. Sin
embargo, diríamos que los supuestos con los que jugamos consiguen un grado de
fidelidad bastante alto, al compararlos con las dimensiones mayoritariamente
aceptadas de la pirámide.

La altura

En este entretenimiento para desentrañar el proyecto original de construcción
de la pirámide cuyo verdadero nombre dicen que es “El Horizonte de Khufu”, la
medida que se considera más importante es la altura. A partir de la altura se
calcula el perímetro de la base, a partir del perímetro de la base, el lado de
la misma, a partir de la altura y del semilado de la base, la pendiente de sus
caras, y ya podemos elegir sitio para comenzar a amontonar piedras.

Figura 3. Altura de la pirámide de Keops

     Gráfico con un hipotético origen de la altura de la pirámide de Keops


En la introducción explico como fue descubierto lo que en mi juego presento
como el origen de la altura de Keops, que viene dada por la estrella de siete
puntas inscrita en un círculo de radio igual a doscientos veintinueve codos
reales o ciento veinte metros, como cada cual prefiera, uniendo los vértices
del heptágono regular tres a tres. Es la línea más gruesa que va del punto A al
punto B en la Figura 3, “Altura de la pirámide de Keops”. El punto O es el
centro del círculo. El punto A está determinado por la intersección entre el
diámetro vertical y la recta paralela al diámetro horizontal que pasa por la
punta de la estrella denominada punto C. El punto B es la intersección del
diámetro vertical con la circunferencia que a su vez coincide con otra punta de
la estrella.

Conociendo la longitud del radio y el valor del ángulo α se puede utilizar la
trigonometría para averiguar la distancia OA, que una vez sumada al radio OB
nos dará la altura AB de la pirámide.

Siendo r el radio del círculo:

OA=r⁢×sin⁨α

El valor del ángulo α se puede determinar observando que, en el triángulo
rectángulo cuyos vértices son OAC, el lado AC es paralelo al radio OD, por lo
que los ángulos OCA y COD son congruentes (iguales), y como el ángulo COD está
formado por dos séptimos de la circunferencia (el arco que va de B a C) menos
los 90 grados del cuadrante, tenemos:

α=360×2/7−90=90/7=12+(6/7)

Obviamente la distancia AB se calcula sumando al radio del círculo la distancia
OA:

AB=r+r⁢×sin⁡(90/7)

Y por último, tomando r como factor común, hemos hallado una manera de calcular
la distancia AB en función del radio del círculo:

AB=r⁢(1+sin⁡(90/7))

De modo que, partiendo de un círculo de 229 codos reales de radio y llamando h
a la distancia AB, la altura de Keops en codos reales sería:

h=229cr⁢(1+sin⁡(90/7))≈279.9573 cr

Redondeando a la décima, 280.0 codos reales o 146.6 metros. La diferencia de
0.043 cr con los 280 cr exactos equivale a 2.25 cm, por lo que en el juego
asumo que los constructores dieron por buenos los 280 codos reales exactos como
la altura de su proyecto piramidal. Sobre todo porque esa cantidad multiplicada
por el doble de pi —tomado como veintidós séptimos— y dividida después entre
cuatro, permite obtener un número exacto de codos reales para el lado de la
base: cuatrocientos cuarenta. Pero —por curiosidad— veamos el cálculo:

(280×2×(22/7))/4=280×44/28=10×44=440

Resulta sencillísimo obtener la cuarta parte de la circunferencia de 280 cr de
radio —que a su vez es el lado de la base—, ya que todo queda reducido a
multiplicar por veinte el numerador de pi. Pero claro, esto solo es posible
debido a la casualidad de que la altura son 280 unidades y, por supuesto, al
hecho de haber tomado 22/7 como valor de pi.

Mencionaremos que 229 es el quincuagésimo número primo, para eso nos hemos
molestado en averiguarlo. Pero ¿por qué precisamente 229 codos reales? Bueno, a
esta pregunta me respondo con que, en lugar de 229 codos reales para el radio
del círculo de la estrella, tal vez la casualidad sea que utilizaron 120
metros, es decir, 120 veces la medida del radio de una circunferencia de 12
codos reales, número que puede descomponerse en 3×4×10 (el tres y el cuatro, su
suma, su producto y las potencias de diez parecen recurrentes en este juego).

Creemos haber añadido un elemento más de “misterio” a la controversia sobre la
relación entre el codo real y el metro, una de cuyas consecuencias parece ser
una pirámide cuya altura está casi a escala de la mínima distancia Tierra-Sol,
es decir, que la altura de Keops (cerca de 147 m) es casi proporcional al
perihelio terrestre, que es de unos 147 100 000 000 m. Considero destacable que
el número de unidades escogido para la altura (280) sea idóneo para obtener
números enteros en los cálculos de las medidas de la pirámide incluso con
fracciones (tomando veintidós séptimos como valor de pi), y que las
proporciones aparezcan como potencias de diez.

Aunque la altura de la Gran Pirámide de Giza simplemente podría consistir en el
producto de 4×7×10 codos reales, por supuesto, pero es que estas cosas me
resultan de lo más entretenidas mientras espero, ratito a ratito, que mi tiempo
se termine.

El lugar

Las coordenadas geográficas del lugar donde está situada la pirámide de Keops
son: 29° 58’ 45" N y 31° 8’ 3” E, o en forma decimal: 29.9792° de latitud Norte
y 31.1342° de longitud Este. El juego planteado considera que la intención de
los constructores fue situarla exactamente a 30 grados norte, ya que esta
situación sobre el planeta conlleva algunas características especiales, una de
las cuales es formar un triángulo equilátero junto con el centro de la Tierra y
el Polo Norte. Este hecho es debido a que estando 30° al norte del ecuador
también está a 60° de distancia (90 – 30) del Polo Norte, y como cada uno de
los tres ángulos de un triángulo equilátero mide 60°, resulta evidente que así
sea. Otra de estas características es que su distancia al ecuador permite
dividir a una circunferencia en doce partes iguales, y su distancia al Polo
Norte es la que permite dividirla en seis partes iguales. La desviación en km
de los 30° exactos es de unos 2.32 km (algo así como un paseo en línea recta
cercano a la media hora). Por otra parte, debido a la excelente nivelación de
la plataforma sobre la que está construida, la altura de la pirámide se puede
considerar como una prolongación del radio terrestre.

Sus cuatro caras están orientadas a los cuatro puntos cardinales casi con total
exactitud; el error es de solo dos o tres minutos de arco, es decir, que la
línea recta que une el centro del lado sur de su base con el centro del lado
norte prolongada sobre la superficie terrestre, apunta a un sitio que está
alejado del Polo Norte geográfico alrededor de unos cinco kilómetros, más o
menos lo que podríamos recorrer en un paseo de una hora.

El ángulo de inclinación del eje de rotación de la Tierra da lugar a otra gran
coincidencia, comparable a la de la altura de la pirámide respecto a la
distancia Tierra-Sol. La menor distancia de la Tierra al Sol (perihelio) es de
unos 147.1 millones de kilómetros, mientras que la altura de Keops sería de
146.6 metros, lo que equivale a una escala de nueve órdenes de magnitud (diez
elevado a nueve).

Pues sucede que, a mediodía del solsticio de invierno en el hemisferio norte
(verano en el sur), los rayos solares caerían casi perpendiculares a la cara
sur de la pirámide de Keops cuando la inclinación del eje terrestre fuese la
mínima, concretamente con solo 0.3 grados aproximadamente de diferencia sobre
la perpendicularidad total (90°), como se puede apreciar en la Figura 4,
“Mínimo ángulo de la cara sur con el plano de la eclíptica”, en la que los
rayos solares se consideran paralelos al plano de la eclíptica. Dicho con otras
palabras, el plano de la cara sur de Keops es casi perpendicular al plano de la
eclíptica durante el solsticio de invierno en el hemisferio norte, que es
también cuando la Tierra se aproxima a su perihelio (mínima distancia al Sol).
En la actualidad el perihelio ocurre en torno al cuatro de enero, pero en otras
épocas puede coincidir con el solsticio. Con una inclinación del eje de
rotación terrestre de unos 23.4°, actualmente ese ángulo es de 88.4°
aproximadamente (90 – 23.4 – 30 + 51.8).

Figura 4. Mínimo ángulo de la cara sur con el plano de la eclíptica

Keops en relación al plano de la eclíptica en el solsticio de invierno (norte)


La inclinación del eje de la tierra varía entre un mínimo de 22.1° y un máximo
de 24.5°, siendo la media de 23.3° muy cercana a la inclinación actual, la cual
es de unos 23.4° y está en fase decreciente. Este ciclo es bastante largo, de
unos 410 siglos, y podría ser que la última vez que el eje terrestre alcanzó su
mínima inclinación fuese hace más de 200 siglos. La próxima puede que sea
alrededor del año 11 800 de la era actual, dentro de 98 siglos (año mas, año
menos).

Es curioso que la pirámide de Keops esté situada casi en el punto cuya
distancia al ecuador divide a la circunferencia terrestre en doce partes
iguales. Sería como si la circunferencia terrestre estuviese a escala de
aquella de doce codos reales a cuyo radio llamamos metro desde finales del
siglo XVIII. Pero ¿no serían todos los círculos proporcionales entre sí? Tal
vez solo sea cuestión de saber elegir el radio adecuado para una escala
determinada. ¿Y si hacemos que el radio de una circunferencia de doce codos
reales sea una unidad de medida “secreta” o “mágica”? Pues ya es casualidad,
mire usted, pero podría ser que a Keops le hubiese tocado una especie de
lotería “mágica”. ¿Cuántos miles de monumentos “mágicos” y “sagrados” habrán
sido construidos desde la más remota antigüedad hasta nuestros días? Si los que
quedan ya nos parecen muchísimos, imaginemos cuántos más se derrumbaron o
fueron destruidos. A alguno le tenía que tocar algo de verdadera “magia”, ¿no?
Aunque, como dijimos en el apartado dedicado al codo real, tal vez esa supuesta
“magia” sea consecuencia de la elección del metro en la Francia de finales del
siglo XVIII, lo que demostraría una vez más que la magia no existe, sino que en
realidad sigue consistiendo en descubrir buenos trucos y saber emplearlos
hábilmente.

La cuadratura del círculo

La cuadratura del círculo es un viejo problema cuyo planteamiento inicial se
atribuye a los antiguos griegos. Pero un servidor se reserva el derecho de
ponerlo en duda, aún sin aportar pruebas, y pienso que ese problema podría ser
bastante más antiguo que los antiguos griegos. Cuentan que su enunciado es: “
construir un cuadrado con la misma superficie de un círculo dado utilizando
solamente regla y compás”. Sin embargo servidor va a jugar a que el enunciado
más antiguo que los antiguos griegos pudo haber sido simplemente: “cuadrar el
círculo”, o sea: “construir un cuadrado de las mismas dimensiones que un
círculo dado”. Tal cosa no puede ser —y además es imposible, como hubiera dicho
el sin par torero Rafael Guerra—, porque si bien parece que tras ímprobos
esfuerzos matemáticos y geométricos se han hallado algunas soluciones para
construir un cuadrado con la misma superficie que un círculo, solucionando así
el primer enunciado, el cuadrado hallado tiene un perímetro distinto al de la
circunferencia del círculo origen, por lo tanto se habrá hallado un cuadrado de
superficie igual a la del círculo, pero no se habrá cuadrado el círculo, puesto
que los perímetros de ambas figuras son distintos. Es curioso que se le haya
dado prioridad a la solución basada en la superficie, con lo sencillo que
resulta cuadrar el perímetro. Debe ser porque el enunciado dice “círculo” y no 
“circunferencia”. Pero yo digo que un círculo sin su circunferencia no es nada,
vamos, que ni siquiera puede existir, así que insisto en jugar a cuadrar el
circulo completo, no solamente una parte.

Antes de reirte de mi pobre inteligencia, te ruego que tengas un poco de
paciencia: invoca junto conmigo al espíritu de la niñez que una vez tuvimos, y
juguemos. Tomémosnos el segundo enunciado del problema como un acertijo, como
algo que “tiene truco”, y juguemos a descubrir ese “truco”. Como con todos los
juegos inocentes, si el resultado no es satisfactorio no pasa nada, porque
jugando no se puede trastocar el orden natural del universo, pero el juego
permite imaginar que las cosas puedan ser de otro modo, de un modo más acorde a
un mundo con menos restricciones formales.

Hemos dado por válido que el perímetro de la base de la pirámide de Keops es
igual a la longitud de la circunferencia cuyo radio es la altura (2×22/7×280=
440×4=1760 cr), por lo tanto ya tenemos un círculo y un cuadrado con el mismo
perímetro. Seguidamente calculemos la superficie del círculo que tiene como
radio la altura:

s=π⁢r²=22/7×280²=246 400 cr²

Ahora vamos a buscar el área del cuadrado, para lo cual jugaremos a cortar la
pirámide con un super-rayo láser imaginario, en sentido vertical y a todo lo
largo de su apotema desde el vértice hasta la base, formando dos mitades
iguales. Separemos las dos mitades utilizando algún tipo de super-grúa
imaginaria y calculemos el área, o superficie (s), de los triángulos que han
quedado al descubierto, cuyas bases y alturas son a su vez el lado de la base y
la altura de la propia pirámide:

s=base×altura/2=480×280/2=61 600 cr²

Multiplicando el resultado anterior por 4 obtenemos 246 400 cr^2. Esto también
es cierto utilizando el verdadero valor de pi en lugar de 22/7 (por si se te ha
ocurrido dudarlo), siendo en ese caso el perímetro de 1759.292 cr y la
superficie de 246 300.864 cr^2. Obtendremos mayor precisión cuántos más
decimales utilizemos, naturalmente. Pero dejaré que tú mismo hagas las
comprobaciones si así lo quieres.

Nuestro juego nos ha proporcionado cuatro triángulos, la suma de cuyas bases es
igual al perímetro de un círculo y la suma de cuyas áreas es igual a la
superficie del mismo círculo, como aparece representado sobre las dos
dimensiones del plano (ancho y largo) en el siguiente gráfico.

Figura 5. La “cuadratura” del círculo

                 El círculo y su “cuadratura” con 4 triángulos


A continuación levantemos esos cuatro triángulos sobre la tercera dimensión (la
altura), manteniéndolos unidos por su vértice común y apoyados sobre sus bases
hasta que sus otros lados queden unidos dos a dos, y habremos formado una
pirámide. Para concluir el juego sólo hay que contemplarla estando situados a
cierta altura justo encima de su vértice, e imaginar que lo que tenemos debajo
es un cuadrado con sus dos diagonales y con las mismas dimensiones, tanto
perímetro como área, que el círculo cuyo radio es la apotema del cuadrado que
en realidad es una pirámide. Juguemos a que hemos conseguido resolver la
cuadratura del círculo utilizando el “truco” de la tercera dimensión, pongamos
a buen recaudo el super-láser y paguemos con nuestro dinero imaginario el
alquiler de la super-grúa.

Diríamos que, en este caso, el punto de vista —o la perspectiva— forma parte de
la solución del problema. Y, naturalmente, no puedo evitar que a mi juguetona
mente acuda un pensamiento: ¿Que la perspectiva sea parte de la solución podría
ser un mensaje que nos transmite Keops a través del viejo “acertijo” de la
cuadratura del círculo? Tal vez sí, tal vez no, pero lo que sí es cierto es que
he encontrado otra cosa a tener en cuenta en mis “búsquedas”.

Vamos a llamar “pirámide origen” a aquella cuyo perímetro de la base es igual a
la circunferencia que tiene como radio su altura, y “pirámide cuadratura” a la
que se forma con los cuatro triángulos antes descritos. Ambas pirámides tienen
la misma base, siendo la altura de la pirámide origen igual a la apotema de la
pirámide cuadratura.

Para obtener la altura de esta nueva pirámide “cuadratura del círculo”
utilizaremos el Teorema de Pitágoras, con la altura de Jufu como hipotenusa, y
el semilado de la base como un cateto del triángulo rectángulo cuyo otro cateto
es la altura a calcular (h) de la pirámide cuadratura:

h=√(280²−(440/2)²)=√(30 000)=100⁢√(3) cr

El resultado es la diagonal de un cubo de 100 cr de lado. Esta “cuadratura del
círculo” es una propiedad de toda pirámide cuadrangular que cumpla la condición
de que el perímetro de la base sea igual a la circunferencia cuyo radio es la
altura. Llamando l[b] al lado de la base,

lb=2⁢π⁢r/4

obtenemos su mitad para formar un triángulo rectángulo junto con la apotema (r)
y la altura:

lb/2=π⁢r/4

De nuevo mediante el Teorema de Pitágoras —al que no en vano Johannes Kepler
llamó tesoro de la geometría—, calculamos la altura (h) de la pirámide
cuadratura, a partir de la hipotenusa (el radio r) y del semilado de la base
obtenido anteriormente:

h²=r²−(π⁢r/4)²=r²−(π²⁢r²/16)=(16r²−(π²⁢r²))/16

tomando r² como factor común:

16h²=r²⁢(16−π²)

dejando a un lado del signo igual h y r y sustituyendo pi por veintidós
séptimos:

16⁢h²/r²=16−(22/7)²

obteniendo raíces cuadradas y simplificando

4h/r=√(16−(484/49))=10⁢√(3)/7

llegamos a la ecuación:

28⁢h=10⁢r⁢√3

Pero fijémonos en lo siguiente:

r/h=28/(10√(3))≈1.616580753730…≈φ

Resulta que las dos partes en que la altura de la pirámide cuadratura divide la
altura de su pirámide origen cumplen la proporción áurea o, mejor dicho, casi
la cumplen. La diferencia no llega a quince diezmilésimas: (
1.618034 – 1.616581 = 0.001453). La altura de Keops estaría muy próxima a la
diagonal de un cubo de 100 cr de lado multiplicada por la proporción aúrea: 
100√3 × 1.618034 = 280.2517 cr. Los 0.2517 cr que sobrepasan los 280 cr exactos
equivalen a unos trece centímetros.

Dos cosas nos llaman especialmente la atención llegados a este punto: primera,
que si hubiésemos utilizado el pi verdadero en lugar de 22/7, no habríamos
encontrado la mencionada aproximación a la proporción áurea, y nos hubiese
pasado desapercibida la posible relación entre la altura y la diagonal del cubo
de 100 cr de lado. La segunda es que la altura sea precisamente de 280 unidades
(28×10). Esto podría dar pie a especulaciones sobre si los constructores
conocían esta propiedad de la pirámide cuadrangular con el perímetro de la base
igual a la circunferencia que tiene como radio la altura, escogiendo para Keops
una altura tal que lo pusiera de manifiesto fácilmente, esto es, directamente
proporcional al numerador de “su” razón áurea (28). Tal vez esto eche por
tierra el juego de la estrella de siete puntas (o lo refuerce, según
opiniones), pero en compensación nos provee de otra interesante disquisición
sobre los conocimientos de quienes amontonaron todas esas piedras en ese lugar,
de esa forma y con esas medidas.

Figura 6. Corte de las dos pirámides superpuestas

 Corte vertical de las pirámides origen y cuadratura por las apotemas con sus
                         alturas sobre una misma recta


En la figura anterior podemos ver el corte resultado de convertir la altura de
la pirámide origen en la apotema de la pirámide cuadratura manteniendo la misma
base. Las dos partes en que se divide la altura de la pirámide origen con esta
operación guardan entre sí una proporción casi igual a la razón áurea o número
de oro. Si le damos 2.8 unidades de altura a la pirámide exterior (origen), la
altura de la pirámide interior (cuadratura) será la raíz cuadrada de tres o
estará muy próxima, dependiendo del valor que le demos a la razón áurea.

También podríamos jugar a la “pentagonatura”, la “exagonatura”, etc. del
círculo, pero quizás eso pueda ser considerado como jugar demasiado, ya que con
toda probabilidad acabaríamos en el terreno de las matemáticas y la geometría,
saliéndonos de nuestra “zona de confort” relativa a las pirámides y
especialmente a la de Keops.

Hemos encontrado en El Horizonte de Jufu aproximaciones (buenas aproximaciones,
diría yo) a dos constantes importantes: pi y phi. La de pi es, como ya vimos,
veintidós séptimos, y la de phi ha resultado ser veintiocho dividido entre la
raíz cuadrada de trescientos. Curiosamente (o tal vez como sería de esperar),
esta aproximación a la razón áurea tiene la particularidad, al ser multiplicada
por la diagonal de un cubo de 100 unidades de lado, de arrojar un número entero
para la altura.

h=φ×100√3=(28/10√3)×100√3=2800√3/10√3=280

Para finalizar este apartado mencionaré otra coincidencia, ciertamente algo
rebuscada, pero es que no puedo resistirme a echar un poco más de leña al
fuego.

h=120 m⁢(1+sin⁡(90/7))=147.7025 m=147.7 m

φ(100√3)=280.2517 cr;

280.2517 cr×0.5236=146.7398 m=147.7 m

Calculando la altura de Keops a partir de la estrella de siete puntas inscrita
en un círculo de 120 metros de radio obtenemos 146.7025 m, y pasando a metros
el producto de la razón áurea por la diagonal de un cubo de 100 cr de radio
obtenemos 146.7398 m. La diferencia es de solo 3.7 centímetros. Pero eso sucede
utilizando el valor verdadero de la razón áurea, no la aproximación hallada,
porque si utilizáramos esta última no hay duda de que el resultado sería de
280 cr exactos (146.608 m). También pudiera ser que, si le diéramos suficientes
vueltas a la diagonal de cierto cubo alrededor de la pirámide de Keops, o
incluso al propio cubo, apareciera alguna que otra nueva coincidencia, pero
pondremos el punto final de este capítulo aquí.

El pentágono regular

inscrito en la circunferencia

Una vez descubierta en el capítulo anterior la relación que guardan entre sí la
altura de Keops, llamada pirámide origen, y la altura de la otra pirámide que
hemos llamado “cuadratura”, que no es ni más ni menos que la razón áurea, he
caído en la cuenta de que el valor de phi también está presente en el pentágono
regular: se obtiene dividiendo la diagonal del mismo entre su lado.

Figura 7. Pentágono regular inscrito

 Pentágono regular con los lados, la diagonal y el radio de la circunferencia
                                 circunscrita


Si le damos al lado de un pentágono regular el valor de la altura de la
pirámide cuadratura, que viene a ser el mismo que la diagonal de un cubo de
100 cr de lado (raiz cuadrada de 30 000 o 100 por raíz cuadrada de 3), el valor
de la diagonal del pentágono será la altura de Keops:

d=100⁢×√3((1+√5)÷2=280.2517 cr

El resultado excede aproximadamente 1/4 de codo real a la altura que
consideramos en nuestro juego sobre el proyecto original. Por supuesto, es la
misma operación (diagonal del cubo de lado igual a 100 cr multiplicada por el
verdadero valor de la razón áurea) que realizamos en el capítulo anterior al
comparar la diferencia entre obtener la altura con la aproximación a phi (28
dividido entre raíz cuadrada de 300) y con su verdadero valor.

La curiosidad —arma de doble filo— me impelió a calcular la medida del radio de
la circunferencia en la que está inscrito el pentágono:

r=(100⁢×√3)÷(2×sin(π/5))=(50⁢×√3)÷sin(π÷5)=147.3370 cr

La geometría ha determinado que la cifra de la longitud del radio en codos
reales esté muy cerca de la altura de Keops en metros, de modo que acabo de
enterarme de que el resultado de dividir el radio de un pentágono regular
(inscrito en un círculo) entre su diagonal, está muy próximo al valor de pi
dividido entre seis:

(r÷d)-(π÷6)=(147.3370÷280.2517)-(π÷6)=0.5257-0.5236=0.0021

No pienses que si calculas el cociente del radio de otro pentágono regular
dividido entre su diagonal te va a dar un resultado diferente, ya que ambas
distancias están relacionadas geométricamente de la misma manera que, en
cualquier pentágono regular, la división de la diagonal entre el lado es igual
al número áureo. Pero si lo dudas te animo a comprobarlo, que así es como se
consigue aprender cosas.

En fin, resulta que si tomamos la diagonal de un cubo de 100 cr de lado como el
lado de un pentágono regular, la diagonal de ese pentágono es la altura de
Keops, y la cifra de su radio, expresada en codos reales, está muy próxima a la
altura de Keops expresada en metros, por lo que también estaría a escala de la
menor distancia Tierra-Sol. Y esa escala es todavía más precisa que la altura
de la propia Keops. Pero… un momento, que me estoy liando: he mezclado medidas
en codos reales con escalas en metros, y eso no funciona. La explicación es que
el cociente de la división del radio entre la diagonal del pentágono está muy
próximo a pi dividido 6. Y ya está. Las medidas en metros de nuestro pentágono
inscrito son: l = 90.6902 m; d = 146.7398 m y r = 77.1457 m. Aunque bien
pudiera ser que el codo real y el metro estén predestinados a relacionarse
intímamente, dada su aparente insistencia en copiarse las cifras.

Estas cosas hay que tomárselas con sentido del humor, uno no quiere correr el
riesgo de acabar sus días construyendo pirámides de cartón y haciéndo cálculos
en bucle, buscando la manera de fabricar la máquina del tiempo, o con un gorro
de papel de aluminio para que los extraterrestres no me sequen el cerebro por
haber descubierto algunos de sus “secretos”, ocultos durante tanto tiempo en
ese enorme majano triangular de base cuadrada.

Las ocho caras

Hasta el momento hemos tratado la pirámide de Keops como si sus caras
estuviesen formadas por cuatro triángulos, pero sucede que en realidad lo están
por ocho. La apotema de cada cara se hunde hacia el interior de la pirámide en
un ángulo de 27' (0.45°) lo que significa que las dos semi-caras forman entre
sí un ángulo de 179° 4' o 179.0667°. Esto hace que la longitud de la base entre
las apotemas opuestas se acorte entre 60 y 90 centímetros por lado (entre 1.20
y 1.80 metros en total). Pasándolo a codos reales me inclino por 12/7 por cara
o 24/7 en total. Esto es prácticamente imperceptible, aunque las mediciones del
egiptólogo Flinders Petrie ya parecían indicarlo. Fue gracias a una fotografía
tomada en 1934 atribuida a la R.A.F. británica que este efecto quedó demostrado
visiblemente. Aunque parece ser que la fecha de la fotografía no está demasiado
clara, ya que unos hablan del 21 de marzo de 1934 (equinoccio de primavera en
el hemisferio norte), pero otros más observadores se fijan en que la cara norte
está algo iluminada según el ángulo de la sombra, cosa de que no debería
suceder en los equinoccios sino más bien en los solsticios, y deducen que esa
fotografía no pudo haber sido tomada en un equinoccio sino probablemente un 23
de Mayo o un 22 de Julio. La cara Sur es la que presenta el “efecto relámpago”
(se ve dividida en dos). Los rayos solares inciden desde el Oeste estando el
Sol bastante bajo, lo que parece corroborar la hora atribuída a la fotografía,
las 18:00 —aunque también hay quien dice que a esa hora aún debería estar más
bajo— y a la derecha está la cara Este. La cara Norte no es visible desde la
posición del avión. De cualquier forma, la doble cara queda patente y con eso
es suficiente.

La explicación que parece más universalmente aceptada es que esta división de
las caras en dos planos permite un llamativo efecto óptico en los equinoccios,
llamado efecto relámpago, que consiste en una especie de destello producido
sobre la cara sur al amanecer y al atardecer, en el momento en que la luz del
Sol pasa de una semi-cara a la otra. Si tenemos en cuenta que la pirámide
estuvo recubierta de losas perfectamente pulidas, en esas condiciones el efecto
debió ser impresionante. Pero, ciertamente, no podemos saber si el
recubrimiento en realidad anulaba este efecto, rellenando el ángulo en lugar de
potenciarlo.

Figura 8. El llamado “efecto relámpago”

           Dibujo representando el “efecto relámpago” en la cara sur


Es como si “El Horizonte de Jufu” no fuese una única pirámide, sino varias
relacionadas entre sí, aunque visiblemente solo aparezca una. De momento ya
hemos encontrado que con los triángulos formados sobre el plano de su corte a
lo largo de la apotema podemos jugar a la cuadratura del círculo, formando otra
pirámide cuya menor altura encaja en la proporción áurea respecto a la altura
original, pero sin tener en cuenta la “concavidad” de sus caras. Y ahora nos
encontramos con otra pirámide de ocho caras que pareciera haber sido diseñada
para destacar los equinoccios, así que ya llevamos “tres en una”.

En este juego, las ocho caras únicamente suponen un indicativo de los
equinoccios y, por supuesto, una demostración más de la precisión con que la
pirámide fue construida. Otra demostración de precisión, según he leído, es que
la desviación de su hipotético vértice sobre el centro de la base sería
únicamente de unos seis milímetros, algo sin duda digno de admiración caso de
poder comprobarse, pero personalmente sospecho que esto es más bien pura
especulación, porque no creo que pueda determinarse el lugar exacto que
ocuparía el vértice de la pirámide, así que esto lo veo más bien como una forma
de “arrimar el ascua a la sardina”.

Como nadie que aún viva estuvo allí para verificarlo, ese “efecto relámpago” no
necesariamente tuvo que ser exactamente calculado. Puedo imaginar un diálogo
parecido al siguiente entre el sacerdote, o jefe supremo del proyecto, y el
capataz encargado de dirigir a los obreros:

CAPATAZ. Jefe, las apotemas nos han quedado algo hundidas.

JEFE. ¿Cómo? ¿Las cuatro?

CAPATAZ. Las cuatro. ¿No te acuerdas que trazamos la orientación de la cruz
central de la base con la misma cuerda? Debió mojarse y encoger.

JEFE. (Exclamando ampulosamente) ¡Los dioses se sentirán decepcionados!

CAPATAZ. Ni se te ocurra pensar en desmontarla y volverla a montar. Nos hemos
dado cuenta cuando vamos casi por la mitad, y esto sigue adelante tal y como
está o te enfrentarás a una huelga. Además, a Anubis le va a dar igual; Osiris,
Isis y Seth están a lo suyo, y Ra seguirá viendo un gran cuadrado desde el
cielo.

JEFE (En voz baja) En verdad me preocupa el faraón, no vaya a ser que le dé por
cortar cabezas y empiece por las nuestras.

CAPATAZ. (En voz más baja aún) Ah. Tranquilo, ni se va a dar cuenta. A simple
vista no se nota.

JEFE. ¿Seguro?

CAPATAZ. Y tan seguro. Lo que yo te diga. ¿Se va a poner el faraón a medir la
base? Eso no es digno de un dios. Y aunque se pusiera, no sabe distinguir un
codo de su rodilla… (je, je).

Y llegó el día de la inauguración, equinoccio de primavera. Al amanecer, Ra
iluminó primero una semi-cara, luego la otra, y el murmullo de admiración
procedente del gentío retumbó en la explanada como la voz de Anoukis, que habla
con estruendo allí donde las aguas del Nilo caen desde lo alto.

CAPATAZ ¡Por todos los escarabajos peloteros! ¿Has visto eso?

JEFE ¡Increíble lo de las apotemas! Ahora mismo voy a pedirle al faraón que
tallen mi nombre para la posteridad.

CAPATAZ. ¡Ja! Que tengas suerte. No te lo crees ni tú, Imhotep.

Las coincidencias

Las coincidencias de la pirámide de Keops no son que de sus dimensiones se
pueda obtener el número pi y la razón áurea phi, o que el área de cada una de
sus caras sea casi igual al cuadrado de la altura ni nada de eso. Ni siquiera
la supuesta “cuadratura del círculo” que hemos jugado a encontrar. Todo eso es
consecuencia lógica de que el perímetro de la base es igual a la circunferencia
cuyo radio es la altura, no hay más que verlo para darse cuenta. Las verdaderas
coincidencias de la pirámide de Keops, en opinión de quien esto escribe,
serían:

  • La unidad de medida

    Un codo real es 0.5236 m = pi/6 m, por lo que el metro es el radio de una
    circunferencia de doce codos reales (no diez ni catorce, sino precisamente
    doce), teniendo como consecuencia que la distancia de la pirámide al
    ecuador medida en codos reales es casi la misma cifra que el radio de la
    Tierra medido en metros.

  • La altura

    La altura es casi proporcional a la menor distancia Tierra-Sol (perihelio)
    en una escala de 10^9, pudiendo proceder bien de una estrella de siete
    puntas inscrita en un círculo de 229 cr de radio (o 120 m), o bien del
    producto de la razón áurea por la diagonal de un cubo de 100 cr de lado.

  • Los rayos solares en el solsticio de invierno del hemisferio norte

    Los rayos solares inciden casi perpendicularmente al plano de la cara sur a
    mediodía del solsticio de invierno en el hemisferio norte, más cerca de los
    noventa grados cuanto más próximo a su mínima inclinación se encuentre el
    eje de rotación terrestre. Esto sucede estando la pirámide situada casi a
    30° norte, latitud equidistante (en línea recta) del Polo Norte y del
    centro de la Tierra. Además, la inclinación de las caras es la de toda
    pirámide cuadrangular que cumpla la condición de que el perímetro de la
    base sea igual a la circunferencia que tiene como radio la altura.

Por lo que se refiere a la orientación de sus caras casi exactamente a los
cuatro puntos cardinales y a la nivelación de la base, la cual permite
considerar la altura como prolongación del radio terrestre, no creo que sean
simples casualidades, sino más bien consecuencia directa de la precisión con la
que fue construida.

Dándole vueltas a estas coincidencias, se me ocurrió jugar a imaginar como
sería un mundo perfecto, o mejor, casi perfecto. Un planeta en el que cada giro
sobre su eje constituyera a su vez un grado de desplazamiento en la órbita
alrededor de la estrella, casi como la Tierra, que tiene un año de 365.25 días,
con lo que un día viene a ser 1.015° de desplazamiento en una órbita circular,
aunque sabemos que la órbita terrestre no es circular, sino casi circular. Un
planeta cuyo eje de rotación estuviese inclinado sobre el plano de su órbita,
lo que permitiría extender la zona de “cómoda habitabilidad” hasta bastante
cerca de ambos polos, y con un satélite, la Luna, que permitiera mantener esa
inclinación estable, dentro del margen de unos tres o cuatro grados. Un
satélite de rotación síncrona cuyo tamaño fuese 400 veces más pequeño que el de
la estrella, pero que también estuviese 400 veces más cerca del planeta que la
estrella. Estas características permitirían dividir el periodo orbital (año) en
doce partes de 30 días (o “grados”), y debido a la inclinación del eje de
rotación, sólo en dos días concretos del año (los equinoccios) la estrella
aparecería justo por el Este y desaparecería justo por el Oeste. La inclinación
del eje también daría lugar a un día con más horas de luz que ningún otro día
del año y a una noche con más horas de oscuridad que ninguna otra noche del
año, que son los solsticios. Los giros del planeta alrededor de la estrella
serían ideales para llevar la cuenta del tiempo, que es como llamamos al
continuo devenir de sucesos de toda índole. Pero los giros del satélite
alrededor del planeta también permitirían dividir cada periodo de 30 días (mes)
en cuatro períodos de 7.5 días, que podríamos redondear a los siete días
(número “mágico”) de la semana. Es curiosa la coincidencia de este mundo
imaginario con el calendario egipcio que se menciona en los llamados Textos de
las Pirámides, el cual constaba de 365 días, repartidos en 12 meses de 30 días
(360 días o “grados”), más 5 días que se añadían al final del último mes. Esos
cinco días “extra” parece ser que se dedicaban a celebraciones relacionadas con
sus dioses y a diversas fiestas, como si fuesen días sobrantes, necesarios para
“cuadrar el año” pero irrelevantes, ya que estarían fuera del círculo perfecto
de 360 días. Ese calendario dividía los meses en tres períodos de diez días,
siendo las potencias de diez las utilizadas para representar los números más
grandes.

También es coincidencia que desde tiempos muy antiguos el recorrido de la
Tierra alrededor del Sol haya estado marcado por doce constelaciones, a las que
llamaron (aún hay quienes lo siguen haciendo) Zodíaco y que ahora llamamos
Eclíptica. El surgimiento de cada una de esas doce constelaciones por el este
marcaba el comienzo de un nuevo período de unos treinta días, que no tiene por
qué ser coincidente con un mes del calendario, y la observación de que a través
de los siglos no sea la misma constelación la que aparece siempre el mismo día
del año, ha contribuido a que nos demos cuenta de que el eje de rotación se
mueve (“cabecea”), lo que hemos llamado “precesión de los equinoccios”. La
astrología sigue diciendo que al comienzo de la primavera el Sol se “proyecta”
sobre Aries, cuando en la actualidad lo hace sobre Piscis, dado el tiempo que
ha pasado desde que los primeros astrólogos hicieron sus cálculos. Pero es
curioso que la astronomía siga hablando del “punto Aries” para referirse al
punto vernal, que es por donde el Sol parece “atravesar” la eclíptica (o el
zodíaco) cuando “pasa” del hemisferio sur celeste al del norte celeste. En ese
momento comienza la primavera al norte del ecuador terrestre y el otoño al sur.
Recordemos que, en la antigüedad norteña, el año comenzaba con la primavera.

El tetragrama

Los cuatro signos que aparecen en la imagen siguiente están grabados en la
entrada original de la pirámide de Keops. Claro que podrían haber sido hechos
por cualquier grafitero de la cantería y nosotros aquí, buscándoles sentido. En
fin, vamos a suponer que están ahí con algún propósito, aunque solo sea para
hacer algo más entretenidos algunos momentos de nuestra existencia.

Figura 9. Los pictogramas de la entrada

                 Dibujo del tetragrama de la entrada de Keops


Un servidor va a aportar sus ocurrencias —faltaría más—, pero sin pretender
desvelar el porvenir del universo, ni el origen de la inteligencia humana, ni
demostrar que nos visitan, o visitaron, razas alienígenas ni otras cosas. Un
servidor va a jugar sin más a que esos signos representan el número cuatro.
Respecto a su posible pertenencia al alfabeto tifinagh, únicamente veo
coincidencias en los dos primeros caracteres de izquierda a derecha, que
vendrían a ser por su orden yad fricativa y yab. A los otros dos caracteres no
les encuentro correspondencia, ya que descarto el yey porque no está compuesto
de tres líneas horizontales, sino de una línea horizontal en medio de dos
óvalos, uno arriba y el otro debajo. Aunque bien pudiera ser, ¿por qué no? Con
el tiempo, la escritura de algunos caracteres ha podido evolucionar desde los
signos del tetragrama de Keops a algún otro más reciente. Pero voy a
entretenerme en exponer mi juego sobre el número cuatro porque para eso se me
ha ocurrido.

Sabiendo contar está claro que los signos son cuatro, y será por eso que les
llaman “tetragrama”. Aparentemente no tienen relación con ninguna otra cosa
escrita o grabada en los momumentos egipcios, no son jeroglíficos y eso añade
enjundia a su misterio. Mis argumentos para decir que representan el cuatro son
bastante simples, intentan responder a la cuestión de cuál sería un buen método
para representar el número cuatro de manera que pueda ser entendido por
cualquiera, sea cual sea su idioma, su cultura, o el sistema de numeración que
use. ¿Por qué precisamente el cuatro? El hecho de que los signos sean cuatro no
es suficiente aval, por supuesto, así que trataré de expresarme lo mejor que me
sea posible para hacerme entender. Esta es una de esas cosas que uno aprehende
de manera más intuitiva que racional, por lo que llevar a cabo una exposición
razonada y con lógica puede que me resulte algo más difícil de lo habitual, que
ya es decir.

Atendiendo a las características de nuestra mente, de nuestra forma de percibir
el mundo, de aprehenderlo en el sentido de llevarlo allí donde internamente nos
resulta cómodamente comprensible, los números se podrían clasificar en anodinos
e importantes, pero ojo, que esta clasificación depende en alto grado del
contexto en el que el número sea utilizado. El mismo cuatro, por ejemplo,
utilizado en el contexto de la construcción de una pirámide como la de Keops es
un número de altísima importancia, pero utilizado en el contexto de la edad de
mi hijo es un número anodino, ya que en este segundo caso lo importante es mi
hijo y el número solo refleja la cuenta de su edad. Imaginemos una especie de
traductor mecánico, o una IA (inteligencia artificial), que consiga aplicar
contexto descomponiendo cualquier oración gramatical de un determinado idioma
en unidades simples, atendiendo al significado en el contexto adecuado de cada
sintagma y cada unidad lingüistica a tener en cuenta, para establecer su
representación simbólica, la cual consistiría en números. Una vez hallados esos
números “simbólicos” de una indeterminada y variable cantidad de dígitos, y
correlacionados de forma que cualquier lengua cuyas reglas tengamos
implementadas en nuestra imaginaria —y todo lo potente que haga falta—
computadora, puedan ser interpretados de la misma forma en cuanto a su
significado lingüístico, se recorrería el camino inverso para el otro idioma,
llegando a la construcción de la oración final partiendo de los significados,
tanto simbólicos como concretos, presentes en los números obtenidos, para
conseguir por fin una oración en un segundo idioma (o en varios a la vez) con
el significado y sentido que se le aplica en el primero. Para lograr esto haría
falta una interpretación numérica extensísima y me voy a atrever a dar ideas,
para tu mayor diversión y jolgorio.

Supongamos que queremos empezar por el principio, pero, ¿cómo aprehender el
concepto de “principio”? ¿Qué sería aquello que nuestra mente identifica como
lo más nimio y pequeño que pueda concebirse? El punto. Si nos paramos a
meditar, que no es exactamente lo mismo que reflexionar, nos daremos cuenta de
que no somos capaces de concebir nada más ínfimo que un punto. Un punto puede
ser todo lo pequeño que seamos capaces de imaginar, pero nada en el interior de
nuestra mente puede ser más pequeño que un punto, que el punto.

¿Qué número le correspondería al punto en nuestro imaginario traductor
mecánico? Pues está claro que el uno. El uno representa la mínima unidad de
existencia, por así decirlo. Si algo tiene existencia, existe al menos una vez
o no es cierto que exista. Por lo tanto, el principio de todo sería
representable por el número uno, y en cada contexto y significado donde el
concepto “principio” tenga cabida estaría presente dicho número uno. Hago
énfasis en que he mencionado “concepto principio”, no “definición de principio”
. Este matiz lo considero importante. Pero, de la misma forma que el punto
puede ser entendido como el principio de todo lo aprehensible, también es el
final a donde todo converge. El punto, y por consiguiente el uno, puede
representar tanto el principio como el final universales. En nuestra forma de
hablar cotidiana lo tenemos presente en expresiones como: “punto de partida”, “
punto final”, “punto de encuentro”, “punto y aparte”, etc. Fijémonos, por
ejemplo, en cualquier explicación de la teoría del Big-Bang como origen del
universo, y a ver si no encontramos el término “punto”. Y es que, al principio,
todo estaba en un punto. Y puede ser que, al final, todo converja en un punto.

¿Cómo representaríamos el número uno? Con un punto. ¿Cómo representaríamos el
punto? Como el origen conceptual común de, al menos, dos líneas. No vale una
mancha, por pequeña que sea, porque conceptualmente no sería aprehensible. El
punto tiene que ser algo único que al menos dos líneas tengan en común, tal
como está representado en el primer signo, leyendo de izquierda a derecha, del
tetragrama. Tengamos en cuenta que la mínima representación de una línea es una
sucesión de puntos y que dos líneas, rectas o no, pueden pasar por un mismo
punto.

El uno se puede representar por un punto, y un punto se puede representar por
el origen común de dos líneas. Primer símbolo. De hecho, nuestro uno es casi
igual pero invertido, las dos líneas se dirigen hacia abajo en lugar de hacia
arriba.

Como el punto es intangible, para poder hacerlo tangible lo convertimos en
círculo. El círculo es todo aquello que puede ser concebido y que tiene su
origen en el punto (¿el Big Bang?). Lo que está dentro del círculo existe y su
exterior es la no-existencia, el caos y la nada. El punto se ha convertido en
el centro, pero el círculo sigue siendo uno. El lenguaje da cabida a
expresiones como: “círculo de amistades”, “centro comercial”, “estar
descentrado” (o “centrado”) etc. El diámetro divide al círculo en dos partes, y
aunque todavía no podemos orientarnos del todo ya contamos con una mínima
referencia binaria (o dual) de lo uno y lo opuesto, frío y calor, masculino y
femenino, bien y mal: el Ying y el Yang en definitiva. Un círculo con un
diámetro será, por tanto, el dos. Un segundo diámetro perpendicular al primero
ya nos permite orientarnos (Norte, Sur, Este y Oeste) y estaríamos hablando del
número cuatro.

Para representar el tres no sirve el triángulo, por ejemplo, porque podría ser
interpretado como una única forma, algo relacionado con lo sólido, lo
indestructible, porque el triángulo es la única construcción indeformable. Han
de ser tres elementos separados, que no dejen lugar a dudas de que son tres.
Iguales, pero tres. Esto puede que refuerze los conceptos del uno y del dos:
aquí hay tres cosas, luego esto podría ser el uno, esto el dos, y esto el tres.
Servirán tres líneas horizontales, como un triángulo “desmontado”.

¿Y cómo identificamos el cuatro? Un círculo con dos diámetros iría bien, tal
vez incluso reforzaría el dos, pero podría ser confundido con el símbolo en sí
mismo, con la cruz. Lo mismo puede pasar con el cuadrado. ¿Y si optamos por
representar el sistema numérico? Tendría que ser posicional, pero sin duda esas
nociones aparecerán en un momento u otro. Bien, utilizaremos un signo que no
tenga nada que ver con los anteriores, que esté ahí únicamente para ocupar un
lugar, incluso peor hecho que el resto, algo así como un círculo inservible,
para indicar que ese último símbolo que no encaja con los demás representa el
paso al siguiente orden de magnitud y, si se utiliza solo, significaría la
nada. A un círculo inútil, o sin significado por sí mismo (el significado lo da
su posición respecto al resto de símbolos), nosotros lo llamamos “cero”. Y
todos juntos son cuatro. También se me ocurre pensar que las dos líneas
verticales de ese “círculo inútil” podrían aludir a los dos diámetros que
representarían el cuatro, pero uno de ellos —precisamente el horizontal— se ha
cambiado de posición para evitar la confusión con la cruz.

Respecto a cuál debería ser el orden de lectura, si de izquierda a derecha o de
derecha a izquierda, pienso que es irrelevante, ya que no estamos leyendo
cantidades sino interpretando símbolos. Cada símbolo habla por sí solo, lo
leamos en el sentido que lo leamos. “Leerlos” de izquierda a derecha (1, 2, 3,
0) es lo mismo que de derecha a izquierda (0, 3, 2, 1). Considero más
importante que estén correlacionados y, según mi interpretación, lo están.

Pero fíjate bien, míralos con detenimiento. ¿No se parece un símbolo a nuestro
'1' al revés? Y el '2' bien podría ser una estilización del que tiene el
díametro horizontal, utilizando solo la semi-circunferencia superior y “
estirándola” antes de llegar al “diámetro”. Para obtener el '3' basta unir con
dos arcos los extremos derechos de las líneas horizontales. Y si le quitáramos,
digamos por pereza al escribir, las dos líneas verticales a ese otro círculo…
Pues sí, estamos jugando a encontrar el parecido. La pareidolia suele acompañar
a los juegos imaginativos y la imaginación es parte de nuestra mente.

Hay preguntas que, según parece, nunca podrán ser contestadas, así que las
respondemos de la mejor manera que se nos ocurre. ¿Tenemos evidencia científica
de que la pirámide de Keops fue construida hace unos 4 500 años? Si afirmara,
por ejemplo, que esa construcción tiene 200 000 años ¿podría alguien demostrar
científicamente que eso es falso? No considero prueba suficiente que lo dijera
Herodoto (¿sabía quien se lo contó a él lo que realmente suponen mil años, o lo
dijo como para expresar una gran cantidad de tiempo?). No me vale que en sus
inmediaciones se hayan encontrado restos orgánicos y pergaminos de hace tres o
cuatro mil años. Cualquiera puede enterrar algo en cualquier momento en
cualquier lugar, y esos pergaminos podrían proceder de una especie de “centro
de investigación” ubicado en las inmediaciones de Keops porque era el modelo a
seguir para construir otras pirámides. Esa pirámide está hecha de piedra, y la
edad de la piedra vendría a ser algo menos de la edad de la Tierra, teniendo en
cuenta el tiempo que tarda en formarse. No admito las alineaciones de los
conductos con ciertas estrellas, porque esas alineaciones se repiten cada vez
que el eje de rotación terrestre, en su ciclo precesional, vuelve a apuntar al
mismo sitio y que si apuntan, o apuntaban, a alguna estrella o constelación en
particular, es fruto únicamente de la casualidad. Si dijera, por ejemplo, que
la fecha de construcción de la pirámide fue por la época en que los rayos del
Sol caían exactamente perpendiculares a su cara sur en el solsticio de invierno
¿se podría rebatir científicamente? Pero sin decir que es imposible porque hace
tanto tiempo nadie sabría ni podría levantarla, ya que eso no lo considero
totalmente objetivo. Quiero que sea rebatido sin suponer nada y únicamente con
pruebas científicas. Tampoco admito basar la fecha de su consrucción en la
época en que vivió el fararón llamado Keops, o Jufu, ya que no está del todo
claro si su nombre fue escrito dentro de la pirámide hace cuarenta y cinco
siglos o bastante menos, pero aún dando crédito a los cartuchos con su nombre,
pudo ser que se la atribuyera en lugar de mandar construirla. También habría
que demostrar sin lugar a dudas que las pirámides consideradas peor hechas,
como por ejemplo la acodada, son anteriores a la de Keops y no intentos
posteriores de imitación. Además, mientras no encuentre una demostración
irrefutable, un servidor seguirá pensando que la llamada “Pirámide de Keops” no
se construyó para ser una tumba, aunque algunas otras pirámides sí lo fuesen.
Lo que creemos saber sobre la edad y la utilidad de Keops está basado en
opiniones, únicamente en opiniones. Sí, son opiniones de personas que han
estudiado mucho la antigüedad y han traducido pergaminos y jeroglíficos, y han
llegado a las mismas conclusiones (quiero decir opiniones) por diferentes
caminos, pero lo cierto es que lo que creemos saber, tanto sobre la utilidad
como sobre la edad de Keops, únicamente está basado en opiniones. Lo que no
parece mucho, objetivamente hablando.

Lo anterior no ha sido más que pura especulación, un intento de corroborar que
casi todo lo que creemos saber sobre el pasado de esas pirámides puede estar
equivocado, y tenemos que aceptarlo así. Siempre habrá preguntas sin respuesta,
misterios sin solución, algo que no podemos saber a ciencia cierta por mucho
que lo intentemos, y esto es precisamente lo que me atrae de esa construcción
de piedra: que a veces (y ya van casi demasiadas) me hace replantearme lo que
sé, o creo saber, sobre el origen de algunas cosas. Ciertamente y sin lugar a
dudas las casualidades existen, pero es que son tantas en el mismo sitio…

Y Keops no está sola. Forma parte de un conjunto de tres pirámides y una
esfinge, que suman cuatro monumentos. Cuatro son los puntos cardinales. Cuatro
las fuerzas fundamentales, según parece: la nuclear fuerte, la nuclear débil,
el electromagnetismo y la gravedad. Tenemos cuatro estaciones, la Luna tiene
cuatro fases, los antiguos decían que cuatro elementos lo formaban todo (aire,
tierra, agua, fuego), y hablamos de que percibimos cuatro dimensiones (ancho,
largo, alto y tiempo), y también que el ADN tiene cuatro tipos de moléculas
llamadas bases. Hasta Los Beatles fueron cuatro. Algunos de esos conjuntos de
cuatro elementos (olvidemos la broma de Los Beatles) parece que en realidad
estén formados por tres más uno, como por ejemplo las fuerzas fundamentales y
las dimensiones. La gravedad todavía no se ha encajado del todo con las otras
tres, por lo que tengo entendido, y la dimensión temporal también parece estar
un poco aparte de las otras. Como la esfinge, que pertenece al conjunto pero a
la vez es otra cosa diferente. El cuatro es número importante en muchas
civilizaciones, empleándose en expresiones como “Señor de los cuatro vientos”, 
“Las cuatro partes del mundo”, etc. El cuatro viene a ser el número que nuestra
mente utiliza para representar la base que forma nuestro mundo. Cuando surje la
necesidad de orientarnos aparece el cuatro. Seguramente los mencionados
conjuntos de cuatro elementos no tengan nada que ver con las pirámides y la
esfinge, pero me resulta entrentenido especular con estas cosas, aunque solo
sea para jugar con mi mente. Afirmamos que la mente radica en el cerebro, pero
me atrevería a decir que el cerebro no es la mente. Uno piensa que la mente es
superior al conjunto de sus partes, por muchísimas sinapsis que tengan nuestras
muchísimas neuronas.

El tesoro

Cuenta la leyenda que la pirámide de Keops oculta un tesoro de conocimiento
inimaginable, que quien lo encuentre hallará respuesta a todas las preguntas,
que ahí estarían los secretos del origen y destino de la humanidad junto con
toda la sabiduría que imaginarse pueda.

Y digo yo que tal vez todo ese acerbo de conocimiento no esté depositado en
ninguna cámara secreta, sino en la propia pirámide. Y diría más: tal vez sea la
propia pirámide.

Según esta juguetona hipótesis, Keops vendría a ser una sólida demostración de
las propiedades de una pirámide cuadrangular cuya altura es el radio de una
circunferencia de igual longitud que el perímetro de la base. Eso ya nos dice
bastante, porque partiendo de esa simple condición podemos encontrar al número 
pi (su aproximación 22/7) escribiendo la fracción en su mínima expresión tal
que así:

π=(perimetro base)/(2×altura)=(4×440)/(2×280)=(80×22)/(80×7)=22/7

Y el supuestamente más que viejo “acertijo de la cuadratura del círculo” podría
ser la “pista” para descubrir la proporción áurea. Ya llevamos dos constantes
matemáticas universales. Si eso no es conocimiento de primera clase, ¿qué otra
cosa podría ser?

Por otra parte tenemos que hay que emplear el algoritmo, o fórmula que hoy
conocemos como “Teorema de Pitágoras”, para hallar la proporción áurea en
Keops, porque es lo que nos permite calcular la altura de la pirámide formada
por los cuatro triángulos iguales cuya apotema es la altura de la propia Keops
y cuya base es también la base de Keops. Y la altura de Keops, dividida entre
la de esa otra pirámide que hemos llamado “cuadratura”, da como resultado la
razón áurea.

También parece que lo verdaderamente relevante no son las medidas de la
pirámide, sino sus proporciones. No es tan importante que mida 280 cr de altura
como que 280 sea proporcional al numerador de la aproximación hallada a la
razón áurea. La altura es, por tanto, la clave principal a partir de la que hay
que acceder al conocimiento. Y la altura es tal, que es lo primero que
cualquiera se pregunta al verla. A la leyenda de Tales de Mileto me remito.

Pero todavía me parece más impresionante las aproximaciones a pi y a la razón
áurea phi que se desprenden de la pirámide, porque permiten obtener numeros
enteros con los cálculos, enfatizando un supuesto mensaje que vendría a
hablarnos de la perfección en la geometría y en las matemáticas. Pero más
impresionante aún es que lo que nos dice Keops está escrito en un lenguaje que,
según se afirma, es el más universal posible: las matemáticas. ¿O qué idioma
crees que podría haber sido utilizado para plasmar ese supuesto conocimiento
que alberga esa supuesta “cámara secreta”? Tuvimos la suerte de hallar la
piedra de Rosetta para poder descifrar los jeroglíficos, y no obviemos el
tiempo que el manuscrito Voynich ha estado considerado como imposible de
traducir, a pesar de que ha resultado estar escrito en una lengua posterior al
latín llamada “protorromance”. Un idioma completamente desconocido y sin
referencias lingüísticas de ningún tipo sería imposible de traducir e
interpretar.

Como esto solo es un juego, diremos alegremente que la pirámide de Keops podría
ser una sonda en el tiempo para comunicar valiosos conocimientos a través de
los siglos. Desde la Tierra hemos enviado sondas al espacio, como las Voyager y
las Pioneer. Tal vez una antigua civilización decidiera enviar una pirámide, o
un conjunto de pirámides más una enigmática esfinge —que mira hacia donde gira
la Tierra— a través del tiempo, como intento para perpetuar una sabiduría que
debía ser recuperada cuando terminasen los cataclismos, ya fuesen naturales o
artificiales, que los iban a hacer desaparecer.

No nos extraña en absoluto enviar mensajes al espacio profundo, codificados de
la manera en que pensamos serán comprensibles para cualquier inteligencia que
por lo menos sepa contar hasta dos, y nos parece completamente inverosímil
encontrarnos un mensaje parecido en nuestra propia casa, dirigido a cualquier
inteligencia que sepa contar por lo menos hasta cuatro. Un poco más de modestia
no nos vendría mal, puede que no seamos los primeros seres capaces de medir la
Tierra que hayan puesto el pie en ella. El orgullo desmedido no ayuda a
encontrar la verdad, más bien al contrario. Sí, las distancias espaciales son
inmensas, pero no lo sabemos todo sobre el tiempo. También puede que no
viniesen de fuera del Sistema Solar, y a lo mejor tampoco eran de fuera de la
Tierra. Pero si hasta hemos llegado a proyectar un posible viaje en una nave
autosuficiente, para que la enésima generación sea la que consiga llegar a un
planeta lejano. Hay cosas que, hoy por hoy, no podemos saberlas con certeza y
por eso no deberíamos adoptar posiciones extremistas.

Una vez que en nuestro juego hemos dado por demostrado que los números pi y phi
forman parte de los conocimientos transmitidos por la más grande de las
pirámides de Giza, lo normal es preguntarse si hay más conocimientos “ocultos”
en Keops (además de en las otras dos pirámides y la esfinge) y cuales podrían
ser. Según dicen, un universo de solamente tres dimensiones no tendría
movimiento; para entender un cubo de cuatro dimensiones, a veces lo
representamos como un objeto que se mueve. El tiempo lo medimos a partir del
movimiento, ya sea de las manecillas de un reloj, de las vibraciones de los
átomos de algún elemento, o de los cuerpos celestes. (Un inciso: se me ha
ocurrido preguntarme si el tiempo y el movimiento no serían la misma cosa vista
con diferente perspectiva —como el círculo que se cuadra en una pirámide—, dado
que en el Universo todo se mueve y que, según la Relatividad de Einstein, la
velocidad del movimiento afecta al tiempo. Que la ciencia me perdone si acabo
de expresar una barbaridad, pero a veces me gusta jugar a buscar explicaciones
por mi cuenta sin preocuparme por mis escasos conocimientos). Por otra parte,
análogamente a como un cubo de 3 dimensiones está formado por 6 cuadrados de 2
dimensiones, un hipercubo de 4 dimensiones está formado por 8 cubos de 3
dimensiones, y en un hipercubo de 7 dimensiones hay 280 hipercubos de 4
dimensiones. No sé si llamarlo casualidad o curiosidad, pero aquí tenemos el 4,
el 7 y el número 280 nuevamente relacionados. Me gustaría tener suficientes
conocimentos matemáticos como para poder jugar con estos conceptos, pero como
no los tengo, y no creo que ya pueda adquirirlos, no me queda más remedio que
esperar a que la suerte me permita hallar la opinión de alguien que sí los
tenga y además también se le haya ocurrido jugar con una pirámide cuadrangular,
con el perímetro de la base igual a la circunferencia obtenida con la altura
como radio, dándole a la altura el valor del producto de la diagonal de cierto
cubo por la razón áurea.

Ya he avanzado en el capítulo dedicado al tetragrama que se puede jugar a
interpretar los símbolos que la geometría proporciona, empezando por el punto
que se transforma en círculo, identificable con el uno, y un primer diámetro
que nos hablaría del dos. La adición del uno y el dos es el tres, constituyente
del triángulo indeformable, con tres lados que son uno (el propio triángulo).
Un segundo diámetro en el círculo, perpendicular al primero, completaría las
cuatro direcciones del plano y la cruz. El centro del círculo quedaría
localizado, identificado, en el punto donde se cruzan los dos diámetros. A
partir de aquí es posible orientarse. El Sol atraviesa el círculo celeste de
Este a Oeste, y la perpendicular a ese recorrido indica el Norte y el Sur. En
este punto, cualquier lugar en la superficie terrestre puede ser considerado el
“centro” del mundo, porque el girar de la Tierra sobre sí misma sitúa a
cualquier punto de la Tierra en determinados momentos sobre el díametro que
recorre el Sol según es percibido desde el suelo. Todas las civilizaciones
tienen su centro del mundo de una forma u otra: Roma, Jerusalén, Teotihuacán,
etc.

Supongamos que aceptamos como ciertas todas las características de Keops que
hemos descrito: Su situación a treinta grados Norte, su altura de 280 unidades,
el perímetro de su base igual a la circunferencia cuyo radio es la altura, la “
cuadratura del círculo” y la casi perpendicularidad de los rayos solares a la
cara sur en el solsticio de invierno en el hemisferio norte, y que un metro es
el radio de la circunferencia de doce codos reales. Unamos a esto que un año
son 365,25 días, cifra muy próxima a los 360 grados de la circunferencia, que
la Luna es cuatrocientas veces más pequeña que el Sol y está cuatrocientas
veces más cerca que el Sol, y que la eclíptica la dividimos en doce partes de
unos treinta grados cada una, igual que los meses del año, doce de unos treinta
días cada uno. Si aceptamos todo esto como cierto, la casualidad queda
prácticamente fuera de lugar. Que todas esas coincidencias alrededor de Keops
sean producto del puro y simple azar es una posibilidad extremadamente pequeña,
es “casi” imposible. Y si descartamos lo imposible ¿qué nos queda?

Pues tal vez nos quedaría jugar a que el mensaje de Keops sea que,
efectivamente y como dicen algunas religiones, nuestro mundo haya sido creado,
construido, con unas determinadas características basadas en un proyecto, cuya
demostración son las extraordinarias casualidades presentes en la situación,
orientación y medidas de una pirámide que no es cualquier pirámide, sino
precisamente la que tiene el perímetro de su base cuadrada igual a la
circunferencia cuyo radio es la altura.

Espero que si alguien se basa en lo que aquí escribo para crear una película de
ciencia ficción o una serie de exito, se acuerde de mí en cuanto a royalties se
refiere.

Kefrén, Micerino y la esfinge

Este autor juguetón piensa que para algo se molestarían en construir dos
pirámides más, cerca de y —casi— alineadas con, Keops. Así pues, y dado que mi
imaginación no se atreve mostrar reparo alguno, voy a distraerme dándoles un
repaso.

La segunda pirámide en altura de las tres que residen en la meseta de Giza se
conoce como Kefrén, y es únicamente 6 cr más bajita que la altura aquí
atribuida al proyecto original de Keops, lo que nos da 274 cr. Eso viene a ser
143.4664 metros. Pero si elegimos el metro como unidad base, entonces serían,
segun publicaciones dignas de crédito, 143.5 m, lo que equivale a 274.0642 cr.
Como ya he supuesto que la unidad de medida utilizada en Keops es el codo real,
y tengo la intención de ser consecuente conmigo mismo, me quedo con 274,0 cr de
altura para Kefrén, atreviéndome a inferir que quienes construyeron esas
pirámides utilizaron la misma unidad de medida en todas ellas. La longitud del
lado de la base, según mis fuentes, es de 215.25 m, lo que pasado a codos
reales y redondeando al entero más próximo da 411.0 cr (411.0963 dice la
calculadora). Diremos que 411.0 cr son 215.1996 m.

Figura 10. Proporciones de la pirámide de Kefrén

                     Proporciones de la pirámide de Kefrén


Es sabido que las medidas de Kefrén son proporcionales al triángulo rectángulo
de lados 3 y 4, siendo la hipotenusa 5. En el gráfico podemos ver representadas
las proporciones de Kefrén, donde a = 3, b = 4, c = 5 y vamos con los cálculos:
La base mide 411 cr, por lo que a = 411/2 = 205.5 cr, y 205.5/3 = 68.5. La
altura (b) es de 274 cr, y 274/4 = 68.5. Está claro que la hipotenusa, o
apotema, c será igual a 68.5 × 5 = 342.5 cr, pero de todas formas vamos a
comprobarlo:

a=√((411/2)²+274²)=√(42 230.25+75 076)=342.5 cr

El hoy llamado Teorema de Pitágoras debió ser extremadamente importante en la
antigüedad piramidal, ya que —según opino— construyeron un momumento descomunal
para ponerlo de manifiesto. Al menos eso es lo que se me ocurre, ya que resulta
imprescindible saber calcular las medidas de un triángulo rectángulo para
resolver, si se me permite la expresión, a Keops. Kefrén, con sus dimensiones
proporcionales al triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5, podría ser la pista
del principal algoritmo, o fórmula, a emplear para poder hallar las medidas
tanto de la propia Keops como de la pirámide “cuadratura”, la relación entre
cuyas alturas constituye nada menos que la proporción áurea phi (o casi casi).

La más “pequeñita” lleva el nombre de Micerino y, en fuentes en las que confío,
se dice que originalmente medía de alto 65,5 m, lo que traducido a codos reales
supone la cantidad de 125.0955 cr. Insisto en ser consecuente con mis
planteamientos, por lo que asumo que la altura debería ser de 125,0 cr
(65,45 m) por aquello de los números enteros. Del lado de la base se cuenta que
son 105 m, lo que pasado a codos reales es 200.5348 cr. Como ya habrás
adivinado, me voy a quedar con 200.0 cr que son 104.72 m. Cierto que hay sitios
donde se dice que la base de Micerino no es cuadrada sino rectangular,
aportando las medidas de 104.6 m × 102.2 m, lo que es igual a
199.7708 cr × 195.1872 cr. Espero que tu benevolencia y paciencia lectora no
tenga demasiado en cuenta que arrime el ascua a mi sardina, optando por el lado
que está más cerca de los 200 cr justos.

Los 100 cr del semi-lado de la base de Micerino es la medida del lado del cubo
cuya diagonal, multiplicada por la razón áurea, nos da la altura de Keops. De
su altura, 125 cr, solo se me ocurre decir —por ahora— que es 5^3. No puedo
evitar que el número cinco me recuerde al pentágono, obiamente, pero ahí queda
todo. Aunque, ciertamente, podría especular con que ambas medidas tienen algo
que ver con la determinacion de la altura de Keops, ya que una alude a los
100 cr del lado del cubo, y la otra a los cinco lados del pentágono. Puede
parecer algo rebuscado, pero como no pretendo sentar cátedra ni nada, no veo
inconveniente en decir que, por un lado, tenemos los 100 cr del lado del cubo
cuya diagonal, multiplicada por la razón áurea, permite obtener la altura de
Keops, y por otro lado, vemos que tomando dicha diagonal como lado de un
pentágono regular, la diagonal de dicho pentágono es la algura de Keops. O sea,
que si jugásemos a tomarnos esto en serio, parece claro que la altura de Keops
está influida por la razón áurea de una u otra forma, en cuyo caso, la estrella
de siete puntas inscrita en un círculo de 229 cr (o 120 m) no sería más que
otra casualidad, parecida a la proximidad de Pi/6 al cociente de la diagonal
del pentágono regular (inscrito en la circunferencia) dividida entre su radio.

Me he entretenido en dibujar un par de esquemas de lo que sería una vista de
las pirámides superpuestas para poder comparar sus proporciones. En el primero
incluyo solamente las tres visibles y en el segundo he añadido la pirámide “
cuadratura”, por aquello de que puede que no haya tres sin cuatro. Y no me voy
a guardar el comentario de que las cuatro más la esfinge suman cinco, como los
lados del pentágono. La pirámide invisible, la de la “cuadratura del círculo”,
podría ser el secreto escondido que, una vez encontrado, aún habría que
descifrar e interpretar, tanto a ella por sí misma como a su relación con el
resto.

Figura 11. Las tres pirámides

                  Imagen que compara Keops, Kefrén y Micerino



  

Figura 12. Las cuatro pirámides

     Imagen que compara Keops, Kefrén, la pirámide “cuadratura” y Micerino


Se me ocurre que la Esfinge, que mira hacia donde la Tierra gira (el Este),
podría representar que solo un animal inteligente (tiene cabeza humana)
entendería el significado de las pirámides. Diríamos que el tamaño invita a
comenzar por sus dimensiones, ya que la pregunta: “¿cuánto medirán esas moles?”
parece lo primero que le vendría a la cabeza a la mayoría de seres pensantes
que las contemplen. Una vez que se ha desentrañado el origen de sus medidas y,
aún más importante, sus proporciones, serán halladas las respuestas a algunas
preguntas. Dejando a un lado si fueron o no tumbas de faraones, pienso que
semejantes volúmenes de piedras no fueron construidos por gusto, sino con un
propósito que quizás hoy en día pueda parecernos irrelevante; mas no caigamos
en la soberbia y respetemos el esfuerzo de quienes las construyeron,
posiblemente con la intención de enviar al futuro lo que consideraban un
importante legado de conocimientos.

Acerca de la alineación de las tres pirámides de Giza se ha dicho y escrito que
coinciden con la posición en el firmamento de las tres estrellas, visibles a
simple vista, que conforman el llamado Cinturón de Orión. Según esta hipótesis,
las pirámides serían su reflejo en la Tierra. Sobre las connotaciones
celestiales de las pirámides no voy a opinar ni intentar investigar ni nada,
tengo bastante con mis juegos sobre medidas, geometría y símbolos. Tampoco voy
a ensayar comparaciones con las pirámides de otros lugares, como América del
Sur, o Asia, o donde quiera que hayan aparecido. Ya habrá quien se ocupe de
esas y otras cosas, que las pirámides dan mucho juego.

A modo de conclusión

Más que conclusión, esto va a ser puro alarde imaginativo. Y es que puedo
llegar a imaginar que existió una civilización muy antigua de la que no sabemos
nada. Sería como si nuestra civilización tecnológica actual desapareciera y, al
cabo de decenas o cientos de miles de años, surgiera otra que concluyera que no
habíamos avanzado más allá del estado en el que actualmente se encuentran los
indígenas del Amazonas, o los bosquimanos del Kalahari, porque únicamente
hubiesen hallado restos y fósiles de esas tribus.

Imagino una antiquísima civilización con amplios conocimientos, pero con una
tecnología más sostenible que la nuestra. Sus herramientas, aparatos,
creaciones, viviendas… en definitiva su huella ecológica sería mucho menos
desastrosa que la nuestra. En cuanto al porqué no se han hallado las grandes
necrópolis que irían asociadas a un gran civilización, quizás la respuesta sea
sencillamente que incineraban los cadáveres. O que serían tan antiguos como
para que sus huesos pudiesen formar parte de nuestro petróleo. De semejante
civilización sólo nos quedarían sus monumentos pétreos, erigidos tal vez con la
intención de dejar algún recuerdo de su paso por este mundo. La proeza de
manipular pedruscos de decenas de toneladas, amontonándolos ordenadamente y
formando llamativas construcciones, vendría a ser la prueba de que podían mover
enormes pesos gracias a su tecnología ya desaparecida. La memoria me muestra
recuerdos del cine: en alguna película, un montoncito de piedras en equilibrio
significaba que por allí había humanos. Sin duda que un montonazo de monolitos
en forma de pirámide significa que por allí hubo gente capaz de pensarlo y
hacerlo.

Para semejante supuesta civilización, la pirámide que llamamos de Keops vendría
a ser una especie de gran (porque pequeña no es) obra de arte en todos los
sentidos. Algo construido con trozos del mismo planeta (piedras), tan enorme y
pesado que fuese (casi) eterno. Un monumento a las proporciones geométricas
básicas y universales: la razón áurea, el número pi, el círculo y su radio, los
triángulos, el cuadrado, el cubo y la raíz cuadrada, el que hoy conocemos como
Teorema de Pitágoras, etc. Paralelamente, habrían creado un universo de
leyendas y mitos amparado en las estrellas y constelaciones, en la “magia” de
las palabras y los números, en un mundo de los vivos y otro de los muertos. Un
universo mitológico de dioses y demonios al que las mentes supersticiosas de
las tribus atrasadas de su época considerían sagrado y real. En ese universo
tiene cabida el bien y el mal, pero el bien exige normas, disciplina, control
de los impulsos primitivos y raciocinio. El mal en cambio es lo contrario:
dejarse arrastrar por el animal que llevamos dentro, despreciar al otro, ansiar
el poder y utilizarlo contra los demás en vez de a favor de los demás. De esos
mitos y leyendas surgirían algunas religiones, que han ido evolucionando cada
una por su lado, pero sostenidas por la base intuitiva de nuestra mente.

Su ciencia no consistiría tanto en comprender la mecánica del mundo sino más
bien en entender cómo nuestra mente percibe y concibe el mundo. El punto se
convierte en círculo, con el centro. La cruz son dos diámetros perpendiculares
que nos permiten orientarnos para que, una vez sepamos donde estamos, podamos
elegir nuestro camino. El triángulo es lo sólido, lo indeformable, “tres que
son uno”. El cuatro es la Tierra, el espacio que ocupamos en el universo.
Podemos recorrerlo de Norte a Sur y de Este a Oeste. La base de Keops es
cuadrada, es la Tierra, y los triángulos de sus caras son los conocimientos
sólidos, inamovibles y perpetuos, apoyados en el mundo del cual se elevan. El
círculo se cuadra con cuatro triángulos, y todo el conocimiento que merece la
pena conservar consiste en comprender, en aprehender, cómo es posible cuadrar
el círculo. Entonces la pirámide ya no es un cuadrado, es la manifestación del
círculo universal que contiene todo lo que puede existir. Es nuestro mundo como
nosotros lo entendemos, representado con la mayor obra de arte (en más de un
sentido) jamás realizada sobre el planeta. Una obra de arte perfecta en su
conjunto e imperfecta en los detalles porque, como es bien sabido, la belleza
está en la búsqueda de la perfección aunque sepamos que la perfección no
existe. En estos tiempos se habla de inteligencias múltiples:
lógico-matemática, emocional, musical, verbal etc., pero yo hablaría de una
inteligencia intuitiva, con la que comprenderíamos el mundo a través de los
símbolos fundamentales, digamos arquetípicos, y que, entre otras cosas, nos
permitiría entender, asimilar conocimiento directamente con la mente sin
intervención de ningún proceso asociado al raciocinio consciente, siendo la
labor del maestro la de guiar hacia la revelación de aquello que ya se
aprehendió meditando en, o sobre, o con, los símbolos. Desde este punto de
vista, tal vez tenga sentido concebir El Horizonte de Khufu como una especie de
templo iniciático del conocimiento sobre nosotros mismos.

Esto es lo que mi curiosidad acerca de ese montón de piedras en un desierto me
ha llevado a imaginar. Otra cosa será el grado de certeza que lo imaginado
pueda tener.


Bibliografía y fuentes consultadas

Libros

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Jupiter. Paris. Copyright © 1986 Editorial Herder S.A. Barcelona. ISBN
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y Arturo Rodríguez Adaptada y completada por José Olives Puig Dr. en Fil. 
Segunda edición 1988. .

Internet

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https://es.wikipedia.org/wiki/
Teor%C3%ADas_sobre_la_construcci%C3%B3n_de_las_pir%C3%A1mides#
Hip%C3%B3tesis_de_la_%22rampa_interna%22_de_Jean-Pierre_Houdin


  

Apéndice

Formato obtenido el 23 de Mayo de 2026 a las 10:56 mediante tratamiento
informático de los textos originales.

 

Publicado en digituenses.com el 16 de agosto de 2019.

 

Revisado, corregido y ampliado durante septiembre de 2025 a mayo de 2026.

 


