# La cuadratura del círculo

La cuadratura del círculo es un viejo problema cuyo planteamiento inicial se atribuye a los antiguos griegos. Pero un servidor se reserva el derecho de ponerlo en duda, aún sin aportar pruebas, y pienso que ese problema podría ser bastante más antiguo que los antiguos griegos. Cuentan que su enunciado es: “construir un cuadrado con la misma superficie de un círculo dado utilizando solamente regla y compás”. Sin embargo servidor va a jugar a que el enunciado más antiguo que los antiguos griegos pudo haber sido simplemente: “cuadrar el círculo”, o sea: “construir un cuadrado de las mismas dimensiones que un círculo dado”. Tal cosa no puede ser —﻿y además es imposible, como hubiera dicho el sin par torero Rafael Guerra﻿—, porque si bien parece que tras ímprobos esfuerzos matemáticos y geométricos se han hallado algunas soluciones para construir un cuadrado con la misma superficie que un círculo, solucionando así el primer enunciado, el cuadrado hallado tiene un perímetro distinto al de la circunferencia del círculo origen, por lo tanto se habrá hallado un cuadrado de superficie igual a la del círculo, pero no se habrá cuadrado el círculo, puesto que los perímetros de ambas figuras son distintos. Es curioso que se le haya dado prioridad a la solución basada en la superficie, con lo sencillo que resulta cuadrar el perímetro. Debe ser porque el enunciado dice “círculo” y no “circunferencia”. Pero yo digo que un círculo sin su circunferencia no es nada, vamos, que ni siquiera puede existir, así que insisto en jugar a cuadrar el circulo completo, no solamente una parte.

Antes de reirte de mi pobre inteligencia, te ruego que tengas un poco de paciencia: invoca junto conmigo al espíritu de la niñez que una vez tuvimos, y juguemos. Tomémosnos el segundo enunciado del problema como un acertijo, como algo que “tiene truco”, y juguemos a descubrir ese “truco”. Como con todos los juegos inocentes, si el resultado no es satisfactorio no pasa nada, porque jugando no se puede trastocar el orden natural del universo, pero el juego permite imaginar que las cosas puedan ser de otro modo, de un modo más acorde a un mundo con menos restricciones formales.

Hemos dado por válido que el perímetro de la base de la pirámide de Keops es igual a la longitud de la circunferencia cuyo radio es la altura (2×22/7×280=440×4=1760 cr), por lo tanto ya tenemos un círculo y un cuadrado con el mismo perímetro. Seguidamente calculemos la superficie del círculo que tiene como radio la altura:

Ahora vamos a buscar el área del cuadrado, para lo cual jugaremos a cortar la pirámide con un super-﻿rayo láser imaginario, en sentido vertical y a todo lo largo de su apotema desde el vértice hasta la base, formando dos mitades iguales. Separemos las dos mitades utilizando algún tipo de super-﻿grúa imaginaria y calculemos el área, o superficie (s), de los triángulos que han quedado al descubierto, cuyas bases y alturas son a su vez el lado de la base y la altura de la propia pirámide:

Multiplicando el resultado anterior por 4 obtenemos 246 400 cr2. Esto también es cierto utilizando el verdadero valor de pi en lugar de 22/7 (por si se te ha ocurrido dudarlo), siendo en ese caso el perímetro de 1759.292 cr y la superficie de 246 300.864 cr2. Obtendremos mayor precisión cuántos más decimales utilizemos, naturalmente. Pero dejaré que tú mismo hagas las comprobaciones si así lo quieres.

Nuestro juego nos ha proporcionado cuatro triángulos, la suma de cuyas bases es igual al perímetro de un círculo y la suma de cuyas áreas es igual a la superficie del mismo círculo, como aparece representado sobre las dos dimensiones del plano (ancho y largo) en el siguiente gráfico.

Figura 5. La “cuadratura” del círculo

A continuación levantemos esos cuatro triángulos sobre la tercera dimensión (la altura), manteniéndolos unidos por su vértice común y apoyados sobre sus bases hasta que sus otros lados queden unidos dos a dos, y habremos formado una pirámide. Para concluir el juego sólo hay que contemplarla estando situados a cierta altura justo encima de su vértice, e imaginar que lo que tenemos debajo es un cuadrado con sus dos diagonales y con las mismas dimensiones, tanto perímetro como área, que el círculo cuyo radio es la apotema del cuadrado que en realidad es una pirámide. Juguemos a que hemos conseguido resolver la cuadratura del círculo utilizando el “truco” de la tercera dimensión, pongamos a buen recaudo el super-﻿láser y paguemos con nuestro dinero imaginario el alquiler de la super-﻿grúa.

Diríamos que, en este caso, el punto de vista —﻿o la perspectiva﻿— forma parte de la solución del problema. Y, naturalmente, no puedo evitar que a mi juguetona mente acuda un pensamiento: ¿Que la perspectiva sea parte de la solución podría ser un mensaje que nos transmite Keops a través del viejo “acertijo” de la cuadratura del círculo? Tal vez sí, tal vez no, pero lo que sí es cierto es que he encontrado otra cosa a tener en cuenta en mis “búsquedas”.

Vamos a llamar “pirámide origen” a aquella cuyo perímetro de la base es igual a la circunferencia que tiene como radio su altura, y “pirámide cuadratura” a la que se forma con los cuatro triángulos antes descritos. Ambas pirámides tienen la misma base, siendo la altura de la pirámide origen igual a la apotema de la pirámide cuadratura.

Para obtener la altura de esta nueva pirámide “cuadratura del círculo” utilizaremos el Teorema de Pitágoras, con la altura de Jufu como hipotenusa, y el semilado de la base como un cateto del triángulo rectángulo cuyo otro cateto es la altura a calcular (h) de la pirámide cuadratura:

El resultado es la diagonal de un cubo de 100 cr de lado. Esta “cuadratura del círculo” es una propiedad de toda pirámide cuadrangular que cumpla la condición de que el perímetro de la base sea igual a la circunferencia cuyo radio es la altura. Llamando lb al lado de la base,

obtenemos su mitad para formar un triángulo rectángulo junto con la apotema (r) y la altura:

De nuevo mediante el Teorema de Pitágoras —﻿al que no en vano Johannes Kepler llamó tesoro de la geometría—, calculamos la altura (h) de la pirámide cuadratura, a partir de la hipotenusa (el radio r) y del semilado de la base obtenido anteriormente:

tomando r² como factor común:

dejando a un lado del signo igual h y r y sustituyendo pi por veintidós séptimos:

obteniendo raíces cuadradas y simplificando

llegamos a la ecuación:

Pero fijémonos en lo siguiente:

Resulta que las dos partes en que la altura de la pirámide cuadratura divide la altura de su pirámide origen cumplen la proporción áurea o, mejor dicho, casi la cumplen. La diferencia no llega a quince diezmilésimas: (1.618034 – 1.616581 = 0.001453). La altura de Keops estaría muy próxima a la diagonal de un cubo de 100 cr de lado multiplicada por la proporción aúrea: 100√3 × 1.618034 = 280.2517 cr. Los 0.2517 cr que sobrepasan los 280 cr exactos equivalen a unos trece centímetros.

Dos cosas nos llaman especialmente la atención llegados a este punto: primera, que si hubiésemos utilizado el pi verdadero en lugar de 22/7, no habríamos encontrado la mencionada aproximación a la proporción áurea, y nos hubiese pasado desapercibida la posible relación entre la altura y la diagonal del cubo de 100 cr de lado. La segunda es que la altura sea precisamente de 280 unidades (28×10). Esto podría dar pie a especulaciones sobre si los constructores conocían esta propiedad de la pirámide cuadrangular con el perímetro de la base igual a la circunferencia que tiene como radio la altura, escogiendo para Keops una altura tal que lo pusiera de manifiesto fácilmente, esto es, directamente proporcional al numerador de “su” razón áurea (28). Tal vez esto eche por tierra el juego de la estrella de siete puntas (o lo refuerce, según opiniones), pero en compensación nos provee de otra interesante disquisición sobre los conocimientos de quienes amontonaron todas esas piedras en ese lugar, de esa forma y con esas medidas.

Figura 6. Corte de las dos pirámides superpuestas

En la figura anterior podemos ver el corte resultado de convertir la altura de la pirámide origen en la apotema de la pirámide cuadratura manteniendo la misma base. Las dos partes en que se divide la altura de la pirámide origen con esta operación guardan entre sí una proporción casi igual a la razón áurea o número de oro. Si le damos 2.8 unidades de altura a la pirámide exterior (origen), la altura de la pirámide interior (cuadratura) será la raíz cuadrada de tres o estará muy próxima, dependiendo del valor que le demos a la razón áurea.

También podríamos jugar a la “pentagonatura”, la “exagonatura”, etc. del círculo, pero quizás eso pueda ser considerado como jugar demasiado, ya que con toda probabilidad acabaríamos en el terreno de las matemáticas y la geometría, saliéndonos de nuestra “zona de confort” relativa a las pirámides y especialmente a la de Keops.

Hemos encontrado en El Horizonte de Jufu aproximaciones (buenas aproximaciones, diría yo) a dos constantes importantes: pi y phi. La de pi es, como ya vimos, veintidós séptimos, y la de phi ha resultado ser veintiocho dividido entre la raíz cuadrada de trescientos. Curiosamente (o tal vez como sería de esperar), esta aproximación a la razón áurea tiene la particularidad, al ser multiplicada por la diagonal de un cubo de 100 unidades de lado, de arrojar un número entero para la altura.

Para finalizar este apartado mencionaré otra coincidencia, ciertamente algo rebuscada, pero es que no puedo resistirme a echar un poco más de leña al fuego.

Calculando la altura de Keops a partir de la estrella de siete puntas inscrita en un círculo de 120 metros de radio obtenemos 146.7025 m, y pasando a metros el producto de la razón áurea por la diagonal de un cubo de 100 cr de radio obtenemos 146.7398 m. La diferencia es de solo 3.7 centímetros. Pero eso sucede utilizando el valor verdadero de la razón áurea, no la aproximación hallada, porque si utilizáramos esta última no hay duda de que el resultado sería de 280 cr exactos (146.608 m). También pudiera ser que, si le diéramos suficientes vueltas a la diagonal de cierto cubo alrededor de la pirámide de Keops, o incluso al propio cubo, apareciera alguna que otra nueva coincidencia, pero pondremos el punto final de este capítulo aquí.

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